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撰文 | 张天蓉
责编 | 吕浩然
玻尔兹曼作为统计力学大师，研究的是经典粒子的统计行为，那么，量子力学中粒子的统计行为又是怎么样的？为何与经典粒子统计规律不同呢？这段历史将再次让我们的目光返回到旧量子论的年代。
图1：玻色和费米
现代物理学观点认为量子统计的规律有两种：玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。这四位物理学家中的爱因斯坦是人人皆知的大神，费米和狄拉克也都在诺贝尔奖榜上有名，可这个玻色和费米是谁呢？本篇我们就介绍一下玻色和费米两位学者。
一个概率问题
玻色的确不是那么有名，印度人，属于第三世界的物理学家，固然受很多条件所限。不过，由他而命名的玻色子在物理学界还是挺有名的。对玻色子统计规律的研究是玻色一生中唯一一项重要的成果。
有趣的是，玻色是因为一个“错误”而发现玻色子统计规律的。1921年左右，在一次有关光电效应的讲课中，玻色犯了一个类似“掷两枚硬币，得到两次正面（即‘正正’）的概率为三分之一”的错误。没想到，这个错误却得出了与实验相符合的结论，也就是不可区分的全同粒子所遵循的一种统计规律。
什么叫“掷两枚硬币，‘正正’概率为三分之一”的错误？另外，什么叫“不可区分的全同粒子”？两个粒子可区分或不可区分，会影响概率的计算吗？
我们看看在现实生活中如何计算概率。如果我们掷两枚硬币，因为每个硬币都有不同的正反两面，所有可能的实验结果就有四种情况：正正、正反、反正、反反。如果我们假设每种情形发生的几率都一样，那么，得到每种情况的可能性皆是四分之一。
现在，想象我们的两枚硬币变成了某种“不可区分”的两个粒子，姑且称它们为“量子硬币”吧。这种不可区分的东西完全一模一样，而且不可区分。既然不可区分，‘正反’和‘反正’就是完全一样的，所以，当观察两个这类粒子的状态时，所有可能发生的情形就只有“正正”“反反”“正反”三种情形。
图2：“可区分”和“不可区分”粒子的统计规律不一样
这时，如果我们仍然假设三种可能性中每种情形发生的几率是一样的（尽管这好像不太符合我们对于实际“硬币”的日常经验，但不要忘记，我们考虑的是某种抽象的“量子硬币”），我们便会得出“每种情况的可能性都是三分之一”的结论。这个例子就说明了，多个“一模一样、无法区分”的物体，与多个“可以区分”的物体，所遵循的统计规律是不一样的。
玻色的错误
纳特·玻色（Nath Bose，1894 - 1974）出生于印度加尔各答，他的父亲是一名铁路工程师，他是七名孩子中的长子。玻色在大学时得到几位优秀教师的赞赏和指点，但他只得了一个数学硕士，并未继续攻读博士学位，就直接在加尔各答物理系担任讲师职务，后来又到达卡大学物理系任讲师，并自学物理。
图3：玻色（后排左2）和加尔各答大学的科学家们
大约1922年，玻色讲课时讲到光电效应和黑体辐射时的紫外灾难，他打算向学生展示理论预测的结果与实验的不合之处。那时候，新量子论（量子力学）尚未诞生，已经使用了二十多年的旧量子论，不过是在经典物理的框架下，做点量子化的修补工作。至于粒子的统计行为，需要应用统计规律时，仍然是波尔兹曼的经典统计理论。物理学家们的脑袋中，绝对没有所谓粒子“可区分或不可区分”的概念。每一个经典的粒子都是有轨道可以精确跟踪的，这就意味着，所有经典粒子都可以互相区分！
玻色也是一样，他想对学生讲清楚黑体辐射理论与实验不一致的问题。于是，他运用经典统计来推导理论公式，但是，他在推导过程中，犯了我们在上面所述的那种“错误”，简单而言，就是将丢两枚硬币时出现“正正”的概率，误认为是三分之一。但是，万万没想到这个偶然的错误却得出了与实验相符合的结论。
为什么数学错误反而得到正确物理结论？此事蹊跷。聪明的玻色立刻意识到，这也许是一个“没错的错误！”他继续深入钻研下去，研究概率1/3区别于概率1/4之本质，进而写出了一篇《普朗克定律与光量子假说》的论文。文中，玻色首次提出经典的麦克斯韦-波尔兹曼统计规律不适合于微观粒子的观点。他认为是因为海森堡的不确定原理构成的影响，使得需要一种全新的统计方法。
然而，没有杂志愿意发表这篇论文，因为他们都认为玻色犯了当时统计学家看来十分低级的错误。
后来的1924年，玻色突发奇想，直接将文章寄给大名鼎鼎的爱因斯坦，不料立刻得到了爱因斯坦的支持。玻色的“错误”之所以能得出正确结果，因为光子正是一种不可区分的、后来被统称为“玻色子”的东西。对此，爱因斯坦心中早有一些模糊的想法，如今玻色的计算正好与这些想法不谋而合。爱因斯坦将这篇论文翻译成德文，并安排将它发表在《德国物理学期刊》。
玻色的发现是如此重要，以至于爱因斯坦写的一系列论文，称它为“玻色统计”。因为爱因斯坦的贡献，如今，它被称为“玻色-爱因斯坦统计”。之后又有了超低温下得到“玻色-爱因斯坦凝聚”的理论。
这可以说是一个诺奖级别的工作，但遗憾的是玻色本人像一颗划过天空，闪亮一时又转瞬即逝的彗星一样，之后在科学上没有大作为，最终与诺奖无缘，1974年于80岁高龄死于加尔各答。
全同粒子
玻色的“错误”能得出正确结果，正是因为光子是不可区分的。这种互相不可区分的、一模一样的粒子在量子力学中叫做“全同粒子”。
所谓全同粒子，就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。在宏观世界中，可能不存在完全一模一样的东西，即使看起来一模一样，它们也是可以被区分的。因为根据经典力学，即使两个粒子全同，它们运动的轨道也不会相同。因此，我们可以追踪它们不同的轨道，进而区分它们。但是，在符合量子力学规律的微观世界里，粒子遵循不确定性原理，没有固定的轨道，因而无法将它们区分开来。量子力学中，有两种类型的全同粒子：玻色子和费米子，分别以玻色和费米两位物理学家命名，它们分别服从两种不同的量子统计规律。
图4：“可区分”和“不可区分”粒子的统计规律不一样
光子就是玻色子。不可区分的全同粒子算起概率来的确与经典统计方法不一样。如图4a所示，对两个经典粒子而言，出现两个正面（HH）的概率是1/4，而对光子这样的玻色子而言，出现两个正面（HH）的概率是1/3（图2b）。
那么，费米子又是如何定义的呢？
在图4c中，我们图示了玻色子和费米子的区别。费米子也是全同粒子，它是符合泡利不相容原理（两个电子不能处于同样的状态）的全同粒子，比如电子。我们仍然以两个硬币为例，可以说明费米子的统计规律有何特别之处。
假设两个硬币现在变成了“费米子硬币”，对两个费米子来说，因为它们不可能处于完全相同的状态，所以，四种可能情形中的HH和TT状态都不成立了，只留下唯一的可能性：HT。因此，对两个费米子系统，出现HT的概率是1，出现其它状态的概率是0。
费米的贡献
研究费米子统计规律的功劳，要归于美籍的意大利裔物理学家恩利克·费米（Enrico Fermi，1901-1954）。
图5：费米和位于美国伊利诺伊州的费米国家实验室
以费米名字命名的物理对象很多：费米子、费米面、费米-狄拉克统计、费米悖论……甚至还有100号化学元素“镄”。当然，还有大名鼎鼎的美国芝加哥费米实验室、芝加哥大学的费米研究院等等。但了解费米其人的大众却不多，这是因为费米一生处事低调，淡泊名利。
费米主要成就包括首创β衰变的定量理论，设计并建造了世界上第一台可控核反应堆等等。费米是1938年诺贝尔物理学奖获得者，他对理论物理和实验物理均做出了重大贡献，因而被称为现代物理学的最后一位通才。
费米作为家中最小的孩子，童年的他身材瘦小、不爱说话，看上去缺乏想象力，甚至不够聪明。但这似乎又一次印证了中国的那句老话：大智若愚。看看费米一生的成就、在物理学上的造诣就明白了。
10岁的费米就能独立理解表示圆的公式X2 Y2=R2，他很小就熟练地掌握了意大利语、拉丁语和希腊语；18岁时，他因为一篇《声音的特性》的论文引起了物理学权威们的关注；1929年，未满30岁的费米成为意大利最年轻的科学院院士。
作为院士的费米知名度提升，但他为人仍然十分低调。据说有一次，费米和妻子一起到一家旅馆，老板问他是不是费米院士“阁下”，费米随口回答说自己是那个费米院士的远房亲戚。
也没有人质疑费米在30岁就成为意大利科学院院士是否太年轻，因为他在25岁时就发现了我们前面介绍的费米子遵循的量子统计。1926年，费米和狄拉克各自独立地发表了有关这一统计规律的两篇学术论文。两位科学家都很低调谦虚，狄拉克称此项研究是费米完成的，他将其称为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。
不同微观粒子的全同性统计行为有所不同，而这种不同则来源于它们的自旋，以及自旋所导致的不同的对称性。玻色子是自旋为整数的粒子，比如光子的自旋为1。两个玻色子的波函数是交换对称的，当两个玻色子的角色互相交换后，总的波函数不变；而费米子的自旋则是半整数的，比如电子的自旋是二分之一。由两个费米子构成的系统的波函数是交换反对称的，即当两个费米子的角色互相交换后，系统总的波函数只改变符号。（见图5中的右边二图）
反对称的波函数与泡利不相容原理有关，所有费米子都遵循这一原理。因而，原子中的任意两个电子不能处在相同的量子态上，而是在原子中分层排列（见图5中的左边二图）。在这个基础上，才得到了有划时代意义的元素周期律。
图6：玻色子和费米子的不同特性源于不同的自旋波函数
因为玻色子喜欢大家同居一室，大家都拼命挤到能量最低的状态。比如，光子就是一种玻色子，许多光子可以处于相同的能级，所以我们才能得到激光这种超强度的光束。那么，原子呢？原子是复合粒子，情况要复杂一点。对复合粒子来说，如果由奇数个费米子构成，则这个复合粒子为费米子；由偶数个费米子构成，则为玻色子。如果将玻色子的原子，在一定的条件下，温度降低到接近绝对零度，所有玻色子会突然“凝聚”在一起，那时会产生一些常态的物质中观察不到的“超流体”的有趣性质，这被称为“玻色-爱因斯坦凝聚”。通过对“玻色-爱因斯坦凝聚”的深入研究，有可能实现“原子激光”之类的、前景诱人的新突破。
因此，全同粒子的玻色子或费米子行为，是量子力学最神秘的侧面之一。
正好在费米获得诺贝尔奖的那一年，意大利的墨索里尼（Benito Amilcare Andrea Mussolini，1883 -1945）开始逮捕和迫害犹太人。因为费米的夫人是犹太人，所以费米便利用到瑞典领奖的机会，举家逃到了美国，并在哥伦比亚大学任教。
1941年底，在爱因斯坦等人的提议下，美国政府决定启动名为“曼哈顿”的原子弹研制计划，费米成为主要的参与者之一。他指挥建造了世界上第一座“人工核反应堆”，并将它秘密转移到新墨西哥州洛斯阿拉莫斯峡谷附近，最终在1945年的7月12日制成了世界上第一颗原子弹。四天后，这颗原子弹被成功引爆。
科研生涯的最后几年，费米还从事高能物理的研究。天妒英才，正值事业巅峰期的费米在食道癌和胃癌的双重打击下，于1954年11月28日逝世于芝加哥的家中，时年53岁。
原标题：量子统计：玻色与费米 | 量子群英传
来源：赛先生
编辑：小林绿子
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