有理数为什么是循环小数（为什么有理数一定能表示为一个有限小数或无限循环小数）

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为什么有理数一定能表示为一个有限小数或无限循环小数，以及怎么把一个无限循环小数化为它的既约分数形式?

不知道如何证明如果有理数化成小数形式如果是无限小数，那么它一定是循环的。碰到 0.168831 168831 168831... 怎么知道它作为分数是什么？

一、问题重述

要证明：有理数=有限小数 无限循环小数，咱们首先来做几个说明：

有理数又称为比例数，因此有理数和分子分母是整数的分数是等价的。每个有理数都有一个既约分数和它对应，既约分数是指分子和分母不仅是整数，而且二者的最大公约数是1。

有限小数是有理数一定正确。

我们可以把需要证明的有理数的范围缩小到(0, 1)之间，如果在这个范围内结论成立，那么推广到全部有理数上结论也成立。

无限循环小数是形如

的小数，其中前面的m个小数位

没有循环，循环节是

。

为了证明题目，需要证明下面两个结论：

1. 无限循环小数一定是有理数。

2. 有理数一定是有限小数或者无限循环小数。

二、证明无限循环小数一定是有理数

首先我们任取一个无限循环小数

，从它开始循环的地方切一刀，把前面和后面的部分分开：

因为分数/有理数的四则运算还是分数/有理数，所以为证明q是有理数，只需要证明

可以写成分数的形式。

我们把循环节提出来，把 再分解一次：

后面的无限循环小数的循环节是连着k-1个是0，然后跟一个1，恰好满足：

原因是：

因此我们得到：

这样就证明了 是有理数。

三、证明有理数一定是有限小数或者无限循环小数

我们随便拿来一个既约真分数

。也就是分子分母互质，并且值在(0,1)之间的分数。我们要证明它一定是有限小数或者无限循环小数。

思路：

因为由上面的分析我们知道

是循环节为c的循环小数，我们首先试探任意有理数是否一定存在循环小数的相等形式：

（这个等式不一定成立，但是可以启发我们）。假设这个等式成立，则：

交叉相乘，得到

。因为a、b互质，为了能让等式成立，就必须使b是

的约数。因此，只要是某个连续若干个9组成的整数的约数，那么上面那个式子就一定成立。因此，我们需要尝试找一个整数n，满足b能整除 。这启发我们构造一个特殊的数列。

构造：

对任意，我们定义一个数

为连续m个9组成的整数除以b的余数：

，如果有一个

，那么咱们的目的就达到了。

同余除法有一点点复杂，经过一定计算我们可以得到一个递推公式：

继续推导可以得到一个一般递推公式：

因为一个数除以b的余数只能是0到b-1之间的b个整数，一共只b种可能，因此不断把k增大，一定有某两个f的值相同了。咱们不妨就假设

，这说明：

因此是

的约数。

虽然这并不能说能整除其中一个（除非是素数），但是可以说能分解成两部分，各整除其中一部分：我们令

，满足

整除

，整除

。前者可得整数 满足

；对于后者，我们首先由

的定义得知

，其中

是某个整数，从而两边加1得

，进而由 既整除 又整除 得到 能够整除

，得知存在另一个整数

满足

。

因此我们得到：

咱们令

则可以得到：

和上一节的结论一比较，就可以知道这一定是一个有限小数或循环小数之。由于分数a、b的选择是任意的，证明完毕。

via:王小龙（知乎）

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