给大一的学生布置了一项作业：写一写在微积分这门课中都学到了什么？
有的学生写得比较细枝末节，但其实这样也容易导致迷茫。很多同学表示，对这门课其实还不太理解，也不太清楚怎么用。鉴于此，我来回答一下两个问题：
- 微积分是什么？
- 微积分有什么用处？
理解微积分是什么有三个层次。
第一个层次是概念上的，比如，你大概对变化率，黎曼和，序列这些东西理解起来没有什么困难。可是，若说到瞬时变化率，黎曼和的极限来定义的定积分，无穷序列这些东西，你可能就有点糊涂了。那是因为，你糊涂的原因你不清楚。你可能说，我知道我为什么糊涂，我不就清楚了么？对的，我就来说一下你为什么糊涂，糊涂在哪里。
为什么糊涂呢？糊涂在哪里呢？因为你觉得，瞬时变化率不就是变化率么？黎曼和的极限不还是和么？无穷序列不也是序列么？其实，虽然表面上看，还是那么回事，但其实还是有不同的。最大的不同，就是我们处理方法是不同的。变化率以前我们是靠算的，黎曼和从定义上看就是求一个和，而序列也只是求和的项比较多而已（一般有一定规律）。但到了瞬时变化率，定积分，无穷序列的计算中，我们主要不靠算了，而靠推。
这就来到了第二个层次，如何推？
大家可能已经知道了，瞬时变化率（求导数），定积分，无穷序列，这些都是极限定义的，要算出这些东西，那就要计算极限的值。极限值当然也是可以算的，不过非常的繁琐，我们不可能都用求极限的方法去算这些东西，而要寻求比较聪明的办法，这也是微积分课程的主要部分。简单的说，微分有微分的性质，所以我们可以利用微分的性质，通过一些简单函数求出来的导数，来推算出各种复杂的函数的导数。而定积分可以通过求被积函数的原函数来简单的求解（微积分基本定理），从而避免了黎曼和极限的计算。（我不认为不定积分很重要，只是觉得讲不定积分，是为了强调找原函数的重要性。）
所以，只要我们把函数给玩转了，导函数原函数求起来得心应手，那么如何求计算方面就不是太大的问题了。当然，有些函数是找不到原函数的，我们也可以通过简单的数值方法找到定积分的近似解。
其实我感觉不少微积分课程把前两个层次说清了也就结束了。但我觉得还是少了一个重要环节，至少我觉得一般微积分课程不太重视这一环节，就是应用的环节，也就是我说的第三个层次。
我这里说的应用不是给你几个应用题，化成微分或积分的问题，然后把他们解出来那么简单。如果应用知识只是学什么课，就专门找可以应用的地方举几个例子，那么可能这个能力方面还有所欠缺。
现在就来讲一讲这个应用层面。
其实，理论本身就来源于应用的问题。比如，切线的斜率，不规则区域的面积，复杂函数的分析等，面对这些棘手的问题，首先我们想的就是能不能化成可以处理的问题。于是，割线的斜率，长方体的面积，多项式函数或三角函数，就被用来作为解决这些棘手的对象的桥梁。对极限的存在性研究和计算也就成了我们感兴趣的事情，因为解决这方面的问题，也就可以借用我们好处理的问题来完成棘手问题的解决。
所以，面对一个实际的问题，首先想的不应该是我可以用什么工具，而是问题本身是什么？解决的难点在哪里？如何转化问题才能让其变得更加简单？也就是通常所说的，你有没有掌握微积分的思维方法？我们用类似的思维方法去解决了区域面积，曲线长度，物体体积的问题，这一点你有没有察觉？ 多元微积分和一元微积分的理论有哪些共同点？
另外补充一点。大家都知道，列方程解方程是我们以前解决应用题的法宝之一。学了微积分之后，要学会列微分方程。在之前，列方程无非是列出量与量的关系，解方程就是通过这种关系找到未知量的数值解。而方程也可以包含未知函数量的变化率与量的关系，我们通过等式关系可以找到其函数解。这一点，其实大大扩展了我们解决实际问题的范围。虽然，微积分课程并没有深入研究各种微分方程的求解方法。（但数学系一般会学好几门关于微分方程的课程。）
我想我同时回答了两个问题。再总结一下，微积分采用了极限的思想方法解决了一系列问题，我们学习微积分首先要弄清哪些问题可以微积分帮忙来解决的，才能有效地应用它来解决实际问题。另外，就是要学会根据实际问题列出微分方程，至于如何求解，可以从长计议。
我把微积分理解学习的三个层次画了一个递进图示，可以帮助理解吧。
微积分理解三层图
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