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一元二次方程根与系数知识点总结(一元二次方程整数根)(1)

今天呢,开始给大家分享第一道例题,一元二次方程的整数根问题。

一元二次方程的整数根问题

已知关于x的方程mx² (3-m)x-3=0(m为实数,且m≠0)

(1) 求证:此方程中有两个实数根;

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m的值.

例题剖析

(1) 证明方程总有两个实根,首先此方程应为一元二次方程,即二次项系数不为0.在此基

础上,求解判别式,通过将判别式配方,判断判别式不小于0,即可得证.

(2) 由(1)知,方程有两个实根,利用公式法或十字相乘法求解方程的根,再根据根是正整

数的条件,分析整数m的取值,即可求解.

例题详解

(1)因为m≠0,所以方程mx² (3-m)x-3=0为一兀二次方程.

根据判别式,得△=(3-m)² 12m=9-6m m² 12m=m² 6m 9=(m 3)².

因为无论m取何实数,总有(m 3)²≥0,所以此方程总有两个实数根.

(2)

一元二次方程根与系数知识点总结(一元二次方程整数根)(2)

因为此方程的两个实数根都为正整数,所以整数師的值为-1或-3.

知识归纳

考察一元二次方程的整数根,要分3个层次:

  • ①保证方程是一元二次方程,即二次项系数不为;
  • ②保证-元二次方程有实根•即判别式非负;
  • ③要求解出含参数的根,再对根进行讨论。

注意两点得到的判别式若是关于m的二次三项式,一般先进行配方,再利用平方的非负性进行符号判断;也可以把式于看成关于参数的二次函教,通过求解二次函数的函数值的范围.从而确定判别式符号.

求解含参数的一元二次方程的根,根据方程结构正确选择方法。配方法有时较为复杂,较为常见的方法是公弍法,但要注意求根公式的正确性,并且正确地找到各个系数。因弍分解法包括十字相乘法,也是求根常见的方法,且比较灵活,甚至在一定程度上,十字相乘法更能简捷和迅速地求解根.

如果已知一个根,还可以利用根与方程的关系.把根代入方程求解参数.如果已知参数的取值范围,也可以在这个范围内筛选有限的几个可能整数值,再根据所给条件逐一判断是否能得到整数解.

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