本文从以下方面介绍平面度：
1. 数学定义（文末附带向量基础知识）
2. 接触模拟方法
3. 图纸标注
4. 应用场合
5. 取值方法
6 加工方法
7. 测量方法
一、数学定义
马克思有句名言：一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。在ASME的GD&T（Geometric Dimensioning and Tolerancing，几何尺寸与公差）标准体系中，ASME Y14.5.1M就是在GD&T中运用了数学。
平面度（Flatness）定义：平面度是指零件实际表面上所有的点，都在两个平行平面（几何学上理想的）限定的空间内，这两个平行平面的距离由平面度公差确定。数学表达式为：
平面度的数学定义式
(1)
其中：
P 带->是零件实际表面上的点；
T 带^是平行平面的方向向量；
A 带->是确定平行平面中面位置的位置向量，可看作是空间中的一个点；
- 是向量的减法运算符号；
. 是向量的数量积符号；
| | 这个绝对值符号在这里是表示向量的模（大小）的符号；
<=是比较数值大小的"小于等于"符号；
t是平面度公差值，它决定了平行平面之间的距离；
t/2是t的二分之一。
式(1)的几何意义：到中面的距离小于等于t/2的所有点的集合。
判断零件的实际表面是否满足平面度公差要求，就在于判断是否存在T带^和A带->，使得该表面上的所有点P带->都满足式(1)。由于t是零件图纸（设计者）规定的，不能改变，为了找到T带^和A带->，可以想象用两个保持平行的平板去压实际的表面，待平板和实际表面的三个高点形成接触时，两平板的中面就给出了T带^和A带->。两平板此时的间距就是该实际表面的平面度实际值。
二、接触模拟方法
立体几何知识告诉我们，不在一条直线上的三个点可以确定一个平面。容易知道，在零件实际表面上找到三个高点来确定一个平面，结果可能不唯一。那么，怎样的三个高点才是符合要求的呢？
数学研究理想的对象，实际的零件总有不理想的地方。如何从不理想的零件表面模拟出理想的基准平面呢？这需要两步：一是要有足够精确的实物平台。相对于零件表面，量规、工作台、平台等足够精确，可以当作理想平面。在生产和检验实践中，可以用它们从零件的实际表面模拟出基准。二是要确定实物平台如何与零件表面接触。
实物平台按如下步骤与实际表面形成合格的接触：(1) 实物平台P（因实物平台足够精确，因此P可认为是几何意义上的理想平面）和零件实际表面形成外接触，所有接触点的集合记作C。(2) 在平面P内任取一条直线L。将零件实际表面边界上的各点正投影（过该点作与L垂直的直线，此直线与L的交点（垂足）即是该点的投影）到直线L上，这些投影点将形成与直线L重合的线段L'。线段L'平均分成若干段（默认是3段）。如果点集C在直线L上的投影全部落在线段L'的左1/3段或右1/3段，则平面P不合格。(3) 如果对平面P内的所有直线都进行步骤(2)的判别后，点集C在直线L上的投影要么左、中、右三段都有，要么都在中段，要么在左、中两段，要么在右、中两段，要么在左、右两段，则平面P就形成了合格接触。参见图1。
图1. 如何从零件的实际表面模拟出合格的基准面
实际工作中，实用的做法是在实物平台与零件实际表面接触后，平视观察一圈（360度），如果接触点在L'上的位置符合要求，就可以判定该接触合格。图2都是合格的接触。由此可见，一个实际表面可能有多种合格的接触。
图2. 合格模拟面示例
三、图纸标注
平面度在图纸上的标注方式及其含义见图3。
图3. 平面度的标注及其含义
四、应用场合
需要应用平面度的场合：
1. 零件的螺栓紧固面
2. 决定零件在装配体中的角度的表面
3. 将和装配体中的下一个零件保持最大物理接触的表面
4. 为保证测量结果的重复性而需要具备一定精度的表面，为线性尺寸提供可靠的边界平面
5. 确保相互配合的零件之间完全接触（如密封设计）
6. 需要确保平面之间的相互平行关系时，先使用平面度来控制平面的平整性
7. 滑动配合平面（如导轨面）
8. 高精度平面（如量块工作面）
五、取值方法
平面度如何取值？ISO标准体系中，对于机加工件，ISO 2768-2（对应的国标GB/T 1184）给出的未注公差值可供参考。这些公差值是根据业界的实际加工能力，测量统计出来H级，然后通过计算放大得到K级和L级。数值见表1.
表 1. 机加工件的未注平面度公差(mm)
另外，中国国标GB/T 1184的附录B给出了公差等级值。这些数值是根据加工规律并考虑优先数系给出的。有关资料还给出了公差等级的应用举例。参见表2.
表2. 平面度公差值及应用举例
六、加工方法
平面的常用加工方案：铣（刨）类、铣（刨）磨类、车削类、拉削类、平板导轨类、特种加工类。
常用加工方法能达到的平面度公差等级如表3.
表3. 加工方法可达到的平面度公差等级
零件的切削加工往往不是一次到位的，而是逐步减少背吃刀量分阶段完成的。切削加工可分为5个阶段：粗加工、半精加工、精加工、精密加工、超精密加工。不过请注意，对于绝大多数零件，一般只经过前三个阶段，到精加工为止。
切削加工划分阶段能带来的优点有：
(1) 避免毛坯内应力的释放影响加工精度。毛坯粗加工一遍，待内应力释放平衡后再精加工，即可减少内应力释放导致的精度丧失。
(2) 粗加工时，背吃刀量较大，因此切削力大，需要的夹紧力也大，这些都会引起弹性变形和热变形，从而影响零件精度。粗加工提高生产效率，精加工保证精度。
(3) 粗加工时发现、暴露的毛坯缺陷，有助于尽早决定取舍，避免浪费。
(4) 粗加工可安排在精度较低的机床上（成本也较低）。精密机床仅用于精加工，也有利于机床长期保持较高精度。
(5) 便于有些零件需要安排热处理工序。
七、测量方法
平面度的测量方法见表4：
表4. 平面度的测量方法
八、向量基础知识
1. 物理学知识告诉我们，力有大小和方向。类似这样既有大小，又有方向的量，叫做向量。
2. 在数学上，大小可以用线段的长度表示，方向用线段的朝向来表示。这样，有向线段就可以表示向量。
3. 与起点无关的向量，称为自由向量。两个向量只要大小相等，且方向相同，则经过平移之后，总能完全重合，因此它们是相等的。
4. 向量的大小叫做向量的模。模等于1的向量叫做单位向量。
5. 模相同而方向相反（成180度）的向量互为正、负向量。
6. 两个向量的加法（和）运算，参照力学上求合力的平行四边形法则。
7. 两个向量的减法（差）运算，其实就是加上负向量。
8. 在空间直角坐标系Oxyz中，根据勾股定理，容易知道向量(x, y, z)的模r=(x^2 y^2 z^2)^0.5。
9. 方向向量是一个单位向量。平面的方向向量是与平面垂直的向量。
10. 两个向量的数量积，参照物理学上的做功（力乘以物体沿力的方向发生的位移），即三者的乘积：力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦。
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