作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
我们主要以二维线性变换为例，展现线性变换的特征理论。二维的好处除了非常直观、方便展示之外，还可以结合复数去理解，所以请有兴趣的读者浏览回顾上一期文章《莫比乌斯变换与正切函数》（点击标题查看文章）。
一、从定义开始1.印象
观察如上动图，我们先来对线性变换有个直观的印象。
图中红色单位圆被线性变换映射为蓝色的椭圆，单位圆上的红色向量与椭圆上的蓝色向量一一对应。形象地讲，红色单位圆沿着两个方向被压缩或拉伸，于是形成了蓝色的椭圆。
2.定义
线性变换是从平面到平面的映射：
其形式如下：
如果写为矩阵形式则更为简洁：
在本文我们暂时不去区分线性变换和其所对应的矩阵。形式上的定义或许让人有些费解，从性质出发的定义则更能窥探其本质：
❝「线性变换的性质定义」对任意向量满足以下性质的称为线性变换：
❞
；
.
特别地，我们中学学过的正比例函数就是最简单的线性映射。
由以上性质第一条可以立即推出「零向量的像必定是零向量」：
或者依据第二条：
3.举例
位似变换是线性变换。
压缩变换是线性变换。
旋转变换是线性变换。
以上三种变换的复合也是线性变换。
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4.几何性质
❝设是线性变换，则以下命题成立：
❞
「1」两直线平行经过变换后仍变为两平行直线。
「2」两平行线段之比是的不变量。
「3」两封闭图形的面积之比是的不变量。
只需要依照定义证明计算即可。第3点可以先证明对于三角形成立，然后再利用内接三角形逼近任意封闭图形面积。事实上，第3点是第2点的推论，可以利用祖暅原理说明，留给读者自己思考。
我们借用一道圆锥曲线的题目去熟悉线性映射的性质。
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「例题」 如上图，椭圆上的弦垂直于椭圆长轴，，，则两弦平行，即
「证」我们沿椭圆短轴方向，将椭圆拉长为正圆（滑动上图），由前面的叙述可知，这是一个线性变换。由线性变换的性质，我们只需证明在圆中两弦平行即可（读者请思考为什么）。由圆周角定理：因为，所以点是弧和的中点，连接点与圆心，由垂径定理可知，于是
二、特征理论5.特征思想下的线性变换
对于二维线性变换，只需要知道两个不共线的向量的取值，就可以决定一个线性变换。这是由「平面向量基本定理」所决定的：任取两个不共线的向量，则对于平面上的任意向量，都存在两个实数有如下等式成立
我们称被向量线性表示。已知线性映射在上的取值，则由线性映射的性质：
回到原动图，我们发现红色的指针和蓝色的指针存在共线的情况，我们把指针同向、反向视为一种情况，则这样的现象一共会发生两次，在两条直线上。共线意味着什么呢？设红色向量是，与之共线的蓝色向量设为，于是由映射关系：
其中称为的「特征值」，称为的「特征向量」。
结合我们前面的分析，如果我们知道一个线性映射的两个特征向量以及特征值，那么任意向量都可以被这两个向量线性表示（通过调整系数），于是线性映射的像会有异常简洁的形式：
这符合我们前面对于图像的观察：沿着两个方向上的伸缩，导致圆变为椭圆。
所以，我们该如何求一个线性变换的特征值与特征向量呢？
6.逆变换与逆矩阵
我们说一个变换可逆，是指存在一个逆变换，使得两者的复合是恒等变换。所谓恒等变换，即用矩阵表示即是
其中表示恒等变换所对应的单位矩阵
上文在介绍线性变换时我一直避免谈论退化的情形，即不是满射，等价于不可逆。例如
事实上，我们可以试着解出来一个矩阵可逆的充要条件，或者说逆矩阵公式。这对于二维矩阵是很容易的事情——当然这只是低维的幸运。
我们看到，分母是可逆的充要条件，记，我们称之为「行列式」。
行列式的几何意义是将单位正方形变换为平行四边形的有向面积。在微积分中，换元积分中的Jacobi行列式，正是坐标变换的切映射，它是一个线性变换。在计算定积分（面积）时，我们需要考虑坐标变换在局部出现的伸缩效应：一个无穷小的正方形被压缩为无穷小的平行四边形。这都是一脉相承的思想。
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行列式不为零也是如下方程组有唯一解的充要条件：
这正是上文第一小节中的形式定义，可见方程组和线性变换一体两面。
通过解上面的方程组，我们可以得到一个基本且重要的结论：
「若矩阵的行列式，则」
成立的理由是以下条件的等价性：
可逆；
是双射；
；
以下方程组有唯一解：
这四点同时是对该小节的总结。
这个命题的逆否命题下文将会用到：
❝若，则矩阵不可逆，即
❞7.特征方程
我们约定特征向量必须是指非零向量，但是矩阵却把一个非零向量变成一个零向量，这由我们刚才得到的结论立即可知，矩阵的行列式为零。我们把如下方程称之为「特征方程」——
拜低维所赐，这个方程在二维的情况很容易求解：
其中称为「迹」。特征方程的判别式为，我们分别讨论根的各种情况对应的变换：
当时，即此时有一对实根。两根互异的情况就如同本文开篇的动图一样，仔细观察两个运动的指针在两直线共线；下图则是重根的情形，两个运动的指针只在蓝色特征向量所在直线共线。
当时，即此时有一共轭的复根。这说明不存在实特征向量的实数倍的伸缩变换，那么一定是发生了旋转！上一篇文章《莫比乌斯变换与正切函数》中（点击标题查看文章），利用球极投影将复平面上的莫比乌斯变换可视化，其等价为黎曼球面上的旋转和伸缩。
区别于第一幅动图，上图对应的是的情况，也就是说特征方程有两个复根。我们看到随着红色单位向量的转动，蓝色单位向量也在同向转动，并且两者始终保持一定范围的角度，于是两者任何时刻都不可能共线——从几何直观上我们一眼就可以分辨无实特征根的情况。
8.高维线性变换
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在理解二维线性变换的前提之下，三维乃至高维线性变换是类似的。上图展示了单位球体经过线性变换后的像，是一个椭球体。
参考文献
[1] Thristan Needham. 复分析:可视化方法[M]. 人民邮电出版社, 2009.
[2] 梅向明. 高等几何(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2000.
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