数学教育，一直以来都是我们最不想面对，也不想去学的，原因很简单，在教育这一块，当属数学最难。哪怕是那些最简单的理论，在数学中都是常识的那些，其实我们也不知道它的原理，我们能做的就是跟着用就好了，那么，在我们都认为的数学中两点之间线段最短的结论，这里面都是有很大学问的。
就如同这个图，我们从A点到B点，走矩形的边线或走阶梯形的线路，所用的路程是一样的，因为可以看出红色的路线和蓝色的路线是相等的。
但是当阶梯状无限小的时候，会无限接近于一条直线，就如图三。
假设图1是个正方形，如果设正方形的边长为x的话，那么√2x,两者的差为（2－√2）x，约等于0.586x，也就是说如果正方形边长为1000米的话，两者就相差586米，这是不是很反直觉？如果图3中阶梯形路径的红线和蓝线的长度是无限小，那么图3的图形面积是多少？等于图4三角形的面积吗？如果等于的话，可不可以说两点之间的直线距离和图1、图2的行走方式的距离相等？如果不等于的话，那么图3中图形的面积是多少？
这个问题很经典，可以这样理解：无穷小量的积累不在是无穷小量。这个问题我们可以用极限求和来算一算，当然这样的过程就相对来说太繁琐，其实它的诀窍就在于光滑性。简单的来说，阶梯每次细分虽然总长度不变，但是放大到一定程度来看就知道不是光滑的，而是连接阶梯上下的线段却是光滑的，这是理论上的当阶梯无限小时，它并不趋于直线段。
更为简单的角度：如果是用弧长公式计算线段AB的长度，不能用图2中的折线做逼近。用来逼近曲线的每段折线段的端点都必须在曲线上。下图中蓝色的折线段可以用来计算AB的弧长，而红色的不可以。把AB“拉直”成为线段，Ak－1，Ak,Ak 1都在线段AB上，而Pk，Pk 1如同题目中的折线段一样，并不能用来计算线段AB的长度。
不管怎样，数学就是这样，敢于猜想质疑，你只有在这样的过程中才会有更大的进步，对这种佯谬进行正解的梳理是准确理解概念的一种非常有效的手段。只要你接触教育，接触数学，你只有不断敢于尝试，不断推理，你会有意想不到的收获的。,
