数学活动“探索图形”的解答和引申
2018年7月28日星期六
“数学活动”内容综合性强、难度大，授课耗时耗力，知识点不纳入考试，经常被课堂教学忽略。本文期望对此加以补充。
下图是人教版五年级数学下册44页数学活动：探索图形，图片来源于“电子课本网”。
人教五数下册44页
该活动分为两块内容，逐一展开。
活动一：计算n阶正方体的角块、棱块、中心块、内部块的数量
这是我们熟悉的3阶魔方：
显然：
角块：指三面涂色的块；
棱块：指两面涂色的块；
中心块：指一面涂色的块；
内部块：指大正方体里面没有涂色的小正方体块。
大正方体的棱包含几个小正方体的棱，我们就称大正方体为“几阶”正方体。3阶魔方各块的数量计算如下：
角块：8个。这个数量固定不变，因为正方体有8个顶点。
棱块：12×（3－2）＝12（个）。共有12条棱，每条棱上有3－2＝1个棱块。
中心块：6×（3－2）×（3－2）＝6（个）。共有6个面，每个面有（3－2）×（3－2）＝1个中心块。
内部块：（3－2）×（3－2）×（3－2）＝1（个）。请想像内部块，这是一个“小了一圈”的正方体，将它的6个面投射到大正方体的表面，就是中心块。您只需算出这个“小号”正方体的棱长为3－2＝1，就可以轻松算出它的总块数了。其中：3为阶数，2表示每条棱被顶点占去了两个位置。
3阶正方体共有：3×3×3＝27（个）。但拆过魔方的小朋友都知道，一共可以拆出26块，因为内部块被魔方的旋转机械轴占据了。
搞清楚魔方各块的计算后，活动一便迎刃而解了，列表如下：
活动二：计算特殊几何体包含的小正方体数量
先将其转化为一堆可求和的数字，从上到下依次是：
拓展到n阶为：
这是一组有规律的数字，我们姑且称呼为“三角数堆”。要对其直接求和并不容易，下面给出计算公式：
这个公式的强大之处在于：将左边不定项的求和计算变为右边确定项的计算！
代入得：
1阶特殊几何体有：1×（1＋1）×（1＋2）÷6＝1（个）
2阶特殊几何体有：2×（2＋1）×（2＋2）÷6＝4（个）
3阶特殊几何体有：3×（3＋1）×（3＋2）÷6＝10（个）
4阶特殊几何体有：4×（4＋1）×（4＋2）÷6＝20（个）
5阶特殊几何体有：5×（5＋1）×（5＋2）÷6＝35（个）
6阶特殊几何体有：6×（6＋1）×（6＋2）÷6＝56（个）
……
现在，您或许对这个公式的来路很是好奇，但接下来的讲述远远超越小学阶段。小朋友们就继续抱着“没吃过猪肉还没见过猪跑”的心态随便看看吧。或许，本文期待着您的成长！
公式的源头是来源于“数学王子”高斯小时候的算法：
我们将其称为：自然数1～n的1次求和公式。
接下来的推广是：
称为：自然数1～n的2次求和公式。这个公式曾经是旧版高中数学教材的封面内容。
称为：自然数1～n的3次求和公式。
……
更一般地，可以有自然数1～n的p次求和公式：
提出这个公式的人物绝对是“大神”！这是一个可以直接生成指定p次求和公式的通用公式，它的推导、发现说明了一个道理：数学研究就是将高超的脑力劳动坚持成高超的体力劳动。
我对这个“通用公式”没有做深入研究，我所熟练的是“按部就班”：根据1次、2次、3次求和公式推导4次求和公式。更高次的做法类同。
推导过程如下（输入烦琐，直接上稿纸，书写凌乱，大家见谅）：
上述推导过程包含的思路是通用的，还可以进一步根据1次、2次、3次、4次求和公式推导得出5次求和公式……但此等“体力活”我已经不胜其烦了，惭愧惭愧！（重要程度★★★★★）
言归正传，那个“三角数堆”按列观察可以得到以下算式：
S＝1×n＋2×（n－1）＋3×（n－2）＋……＋n×1
＝1×（n－0）＋2×（n－1）＋3×（n－2）＋……＋n×（n－（n－1））
＝n－0×1＋2n－1×2＋3n－2×3＋……＋n×n－（n－1）×n
抽出被减数：
A＝n＋2n＋3n＋……＋n×n＝n×（1＋2＋3＋……＋n）
代入公式①得：
A＝n×n×（n＋1）÷2
抽出减数：
B＝0×1＋1×2＋2×3＋……＋（n－1）×n
＝1×1－1＋2×2－2＋3×3－3＋……＋n×n－n
＝（1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n）－（1＋2＋3＋……＋n）
代入公式①、②得：
B＝n×（n＋1）×（2n＋1）÷6－n×（n＋1）÷2
所以：
S＝A－B＝n×n×（n＋1）÷2－n×（n＋1）×（2n＋1）÷6＋n×（n＋1）÷2
＝n×（n＋1）×（n＋2）÷6
这后半部分内容就当做是一种备份吧，防止头脑凌乱时无据可查。小朋友们需要记住的是：推理是数学重要的思维形式和发展手段。（重要程度★★★★★）
奋进吧！再会。
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