高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：
一、利用一次函数的单调性
【例题1】已知 x , y , z 是非负实数，且 x 3y 2z = 3 , 3x 3y z = 4 ,
求函数 w = 2x - 3y z 的最值 .
解：
得 y = 5/3（1 - x）, z = 2x - 1
∴ w = 9x - 6
又 x , y , z 非负，
依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知
当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,
当 x= 1 时，Wmax = 3 .
注：
再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.
对于一次函数 y = kx b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .
二、利用二次函数的性质
【例题2】设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx k 2 = 0 的两个实数根，
当 k 为何值时 α^2 β^2 有最小值？
解：
∵ α , β 为方程的两个实数根，
∴ α β = k , αβ = 1/4 ( k 2 ) ,
令 y = α^2 β^2 , 则有
又由原方程由实数根可知，
∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .
而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，
y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2， ∞）的抛物线，
比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，
当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .
注：
利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 .
【例题3】如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，
点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .
分析：
由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB 的距离最大 .
解：
设 P 点坐标为 （x0 , y0）,
∵ A , B 在直线 y = 3x 上，
∴
联立抛物线与直线方程，可得
xA = -4 , xB = 1 ,
∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,
则有
∴
当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.
注：
在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .
三、利用二次方程的判别式
欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程，
注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，
所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .
【例题4】已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求
的最值 .
解：原式可化为
∵ x ∈ R ,
∴
解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，
即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，
∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .
当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;
当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 ∉ [ 0 , 1 ] .
又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,
∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .
注：
① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；
② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，
如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；
③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得，
即要注意验根 .
四、利用重要不等式
【例题5】设 x , y , z ∈ R , 且 2x 4y 9z = 16 .
求 6√x 4√y 3√z 的最大值 .
解：
令 u = 6√x 4√y 3√z ,
∴ u ≤ 4√23 ,
( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号)
故
注：
这里是应用柯西不等式，在应用公式时，
如何构造出已知条件等式 2x 4y 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .
五、利用三角函数的有界性
对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，
如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx bcosx （a , b ≠ 0）
引入辅助角 θ，则
其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .
【例题6】求
的最值 .
解法一：（利用降幂公式）
解法二：（用判别式法）
注：本例还可以用万能公式等方法来求解 .
六、利用参数换元
对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 .
【例题7】求函数 y = x √( 1 - x ) 的极值 .
解：
原函数变为
∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , ∞ ) ,
∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .
注：这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .
七、利用复数的性质
【例题8】已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 √3 i z | 的极值 .
解法一：
设 z = 2（cosθ isinθ） （∵ | z | = 2）
故 | 1 √3 i z |max = 4 , | 1 √3 i z |min = 0 .
解法二：
依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 z2 | ≤ | z1 | | z2 | ,
有 | 1 √3 i | - | z | ≤ | 1 √3 i z | ≤ | 1 √3 i | | z | ，
即 2 - 2 ≤ | 1 √3 i z | ≤ 2 2 ，
∴ | 1 √3 i z |max = 4 , | 1 √3 i z |min = 0 .
注：
求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），
复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 z2 | ≤ | z1 | | z2 | ,
此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.
八、利用数形结合
有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.
【例题9】求
的最值 .
解：将函数式变形为
其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ， -1）连线的斜率，
动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：
知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,
又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,
tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,
即 kAC = 4/3 ,
故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .
注：
形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，
通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .
运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，
将代数式通过转化、变形、给予几何解释，
通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .
高中数学100个知识点总结！
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