圆的内接直角三角形一定过直径吗（为什么圆内接三角形的一边是直径）

为什么圆内接三角形的一边若是直径，该边的对角是90度？

现在用几何证明角APB=90度。

这是内接角的一个已知且非常有用的性质，它们是同一条弧对着的圆心角的一半，或者是同一弦对着的圆心角的一半。当弦是直径时，圆心角是2直角和对应的圆周角都是直角。

设P是直径为AB、圆心为O的圆上的一点，即OA = OB = OP，表示同一圆的三个半径。这使得三角形成为AOP和BOP等腰

其中，底角相等，它们的和等于一个外角:

∠OAP ∠APO =∠BOP

同样

∠OBP ∠BPO =∠AOP

但由于∠OAP =∠APO

且∠OBP =∠BPO，则有

2∠APO =∠BOP

同样

2∠BPO =∠AOP

把两者相加

2∠APO 2∠BPO =∠AOP ∠BOP=180°。

换句话说,

∠APB =∠APO ∠BPO = 90°。

证法2：利用同弧的圆周角等于圆心角的一半的这个定理，可知AB是圆心角所在的弧为180度，因此其圆周角APB=90度。