本文授权自公众号数学模型（ID: MATHmodels）
引言
西安大唐不夜城“不倒翁”女孩街头表演的视频曾一夜走红网络。在大唐不夜城步行街，“不倒翁”小姐姐身姿轻盈，一颦一笑令人梦回唐朝。
图 1. 小姐姐成名作：把手给我
图 2. 是不是也被这小眼神迷倒了
尽管很美，但其实小姐姐表演得很辛苦。别只看到小姐姐在演出时体态轻盈、游刃有余，这背后可是下足了苦功夫。
图 3. 带 T 型架的底座，重达 250 公斤
大唐不夜城的真人不倒翁演员都是经过层层选拔的，女性演员身高要在 163 厘米左右，体重不超过 50 公斤。因表演需要将下半身完全固定在如图 3 所示的铁架子上，仅靠腰部发力运作不倒翁的底座，扮演不倒翁的演员每天表演完，胯和膝盖都会被磨青。
不倒翁，是一种最常见的玩具。通常形状像一个蛋型、上轻而下重，扳倒后还能自动竖立起来。历史最早记载唐代的捕醉仙就是一种不倒翁。不倒翁不倒的原理并不难以理解：上轻下重的物体比较稳定，重心越低越稳定。当不倒翁在竖立状态处于平衡时，重心和接触点的距离最小，即重心最低。偏离平衡位置后，重心总是升高的。因此，这种状态的平衡是稳定平衡。所以不倒翁无论如何摇摆，总是不倒的。
图 4. 不倒翁原理。左：不倒翁在竖立时重心最低；右：不倒翁偏离平衡位置后重心升高
但不倒翁究竟是如何运动的呢？小姐姐又是如何操控不倒翁，让其自由的摇摆呢？本文将建立不倒翁小姐姐的数学模型，研究不倒翁的运动方程，并通过计算给出小姐姐摇晃的最佳策略。
模型先不考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力，建立一个简单的不倒翁模型。在此基础上，再建立一个考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力的模型。
简单的不倒翁模型
我们把不倒翁简化为仅在二维平面（图 5 中的 平面）内运动的半球。半球和地面均为刚性，两者无滑移。如图 5 所示的半球，其质量为 ，质心为 ，半球球心为 。
图 5. 半球的质心
容易求得半球质心位置 和对 轴的转动惯量
若该半球某时刻的位置如图 6 所示， 为半球重力，地面对半球的支撑力和摩擦力分别为 和 。
图 6. 半球运动和受力分析图
为了确定运动方程，需要知道半球是如何运动的。我们用 与垂直方向的角度变量 来描述半球的状态。考虑点 和 的坐标
因此，质心 的速度为
其中 和 是 和 对时间的一阶导数。将 点速度对时间求导数，得到质心的加速度
现在让我们通过考虑作用在物体上的所有力来研究运动方程。运动方程不仅要考虑刚体的平动，还必须考虑到关于质心转动：
有三个方程，却有四个未知数（，，，）。要求解这个问题，还需要一个描述接触条件的表达式。对于不倒翁，假设半球与地面接触点没有滑移，则有
从而可得： 上式微分方程也可由欧拉-拉格朗日方程导出，感兴趣的读者可自行尝试。上式微分方程可由 MATLAB 函数 ode45 函数给出数值解，并结合式 可完全确定不同时刻半球的位置和角度。计算结果如图 7 所示。
图 7A. 理想不倒翁模拟动画
图 7B. 角度 、角速度 和质心高度 随时间的变化。
模拟结果表明，如果地面没有滚动阻力（机械能守恒），不倒翁将不停的摇摆。角度 为 0 时速度，角速度 最大，重心 最低。
不倒翁小姐姐模型
在前文中，本文仅给出了一个不倒翁玩具在理想地面上的运动状态。而实际上不倒翁小姐姐的底座在摇晃的过程中是受到滚动阻力的，小姐姐的腰部在不停地扭动。为了了解小姐姐到底是如何将不倒翁摇晃起来的，接下来将建立一个考虑滚动阻力和小姐姐摇晃的模型。
根据网络上的视频和图片，假设整个不倒翁底座重 kg，是由质量为 kg，半径为 m，厚为 m 的铁制半球形圆壳和质量为 kg，半径为 的球缺配重以及支架（忽略支架的质量）组成。小姐姐身高 ，体重 。如图 8 左图所示。
图 8. 不倒翁小姐姐模型图
实际摇晃过程中，小姐姐只能通过摇晃上半身带动底座摇晃。因此可将小姐姐简化为两个由铰链连接的圆柱（图 8 中图）。假设小姐姐的密度为 ，则容易求得圆柱半径为 m。假设小姐姐腰以下长 m，腰以上长 m。小姐姐的腰部以下固定在 T 字型支架上，因此我们将小姐姐的下半身与底座看成一体（图 8 右图），质量为 kg，转动惯量为 。小姐姐上半身质量为 kg，转动惯量为 。
图 8 右图是对两部分的受力分析，将小姐姐上半身对下半身的作用力简化为力 和力偶矩 。在底座实际滚动过程中，由于地面和底座的变形，地面对底座的支撑力 的作用点并不在 点，偏离距离 可由滚动阻力系数给出。与简单的不倒翁模型类似，我们可以定义出 、、、 和 的坐标、速度和加速度，然后分别给出系统两部分的动力学方程，对于底座和小姐姐的下半身组成的整体有 对于小姐姐的上半身有 根据以上六式以及 可以求解出 ，由于表达式比较复杂，这里不再列出。小姐姐可以通过 来控制 ，即小姐姐可以通过摇晃上半身来使整个不倒翁底座摇晃起来。假设小姐姐摇晃的 随时间的变化满足： 其中 为摇晃幅度， 为摇晃周期。
求解经过我们的分析，终于得到了小姐姐的摇晃方程。可有人说看不懂方程，也不想看方程，就要看小姐姐摇。没办法，为了满足读者的要求，我们只好写段 MATLAB 程序模拟一下。不倒翁底座的摇晃方程可以由 ode45 函数直接求解，但为了加快程序运行速度并实时显示，使用了 Euler 法求解，时间步长取 s。模拟的主要步骤如下：
根据时间确定上半身相对于底座的角度 、角速度 和角加速度
根据角速度更新角度：
根据角加速度更新角速度：，其中角加速度 由运动方程给出。
确定底座球心 的水平位置：。
根据底座球心 的水平位置，以及底座的转动角度，确定半圆位置。
更新时间步 。如果 s，结束；否则跳到第 1 步。
为了模拟的视觉效果，我们还需要动态展示出结果。为此专门写了一个函数用来画底座半圆和小姐姐。绘制结果如图 9 所示。很多人看了我画的小姐姐，表示震惊：实在是太像了，将小姐姐妙曼的身姿展现得淋漓尽致，这大长腿，这伸出的纤纤玉手。
图 9. 小姐姐和半个球
根据运动方程，算出某时刻半圆心的位移以及角度后，需要对半圆和小姐姐进行平移和旋转，平移容易。旋转可根据以下公式进行： 以上公式将点 绕 旋转 角。将以上公式写成 MATLAB 函数 rotxy。
结果为了研究小姐姐究竟是如何通过摆动上半身将底座摇晃起来的。我们研究了不同情况下，底座摇晃的规律。
若小姐姐不摇晃，即摇晃幅度，并且没有滚动阻力，即，则模型退化为简单的不倒翁模型，对于，结果如图 10 所示。
图 10A. 没有滚动阻力，小姐姐不摇的模拟动画
图 10B. 没有滚动阻力，小姐姐不摇时角度和腰部受力变化
结果表明，即使小姐姐不摇晃，小姐姐的腰也受到周期性的作用力。若加入滚动阻力的考虑并假设 ，则结果如图 11 所示。
图 11A. 有滚动阻力，小姐姐不摇的模拟动画
图 11B. 有滚动阻力，小姐姐不摇时角度和腰部受力变化
结果表明，在滚动阻力的作用下，不倒翁底座会逐渐停止摇晃。也就是说，在实际情况中，想要保持不倒翁底座的摇晃，小姐姐必须持续不断的摇晃身体。
接下来我们讨论小姐姐摇晃身体的周期对不倒翁底座运动的影响。假设小姐姐摇晃身体的幅度 。研究表明，小姐姐身体的摇晃与不倒翁底座的摇晃之间会产生共振效应，当小姐姐摇晃身体的周期 s 时，不倒翁底座摇晃的幅度最大，结果如图 12 所示。
图 12A. 小姐姐摇晃周期为 2.18 s 的模拟动画
图 12B. 小姐姐摇晃周期为 2.18 s 时角度和腰部受力变化
而更小的周期（如 s，结果见图 13）或更大的周期（如 s，结果见图 14）都不能让不倒翁底座大幅度地摇晃。
图 13A. 小姐姐摇晃周期为 1 s 的模拟动画
图 13B. 小姐姐摇晃周期为 1 s 时角度和腰部受力变化
图 14A. 小姐姐摇晃周期为 3 s 的模拟动画 图 14B. 小姐姐摇晃周期为 3 s 时角度和腰部受力变化
结论
通过运动和受力分析可以求解出不倒翁小姐姐的运动方程，并可以确定出小姐姐与底座发生共振的最佳摇晃周期。
小姐姐能大幅度摇晃的最佳周期为 2.2 s 左右。若小姐姐照此周期不停的摇，一小时大约要晃 下。
在本文的最佳周期模拟中，小姐姐晃动幅度约为 ，这相当于要晃出 1 m 左右的距离，一个周期内腰移动的距离约为 4 m。小姐姐腰间平均水平发力在 130 N 左右。因此一个周期小姐姐做功约 520 J，摇 1 小时做功约 850 kJ。因为仅考虑了水平方向的力，实际上这低估了小姐姐实际做功。
听说不少群众模仿“不倒翁”小姐姐并闪了腰，请大家小心模仿。此外，骨科专家也告诫大家谨慎模仿。
参考资料
[1]曲江新区，不倒翁小姐姐的秘密终于藏不住了: https://kuaibao.qq.com/s/XAC2019112600405400?refer=spider
[2]百度百科，冯佳晨: https://baike.baidu.com/item/冯佳晨/24144236
[3]南京晨报，西安“不倒翁”女孩的表演走红网络，大家都想牵她的手！: https://new.qq.com/omn/20191117/20191117A03D2I00.html
[4]Roly-poly toy --- Wikipedia, The Free Encyclopedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Roly-poly_toy
[5]Mass moment of inertia of a hemisphere: https://blitiri.blogspot.com/2014/05/mass-moment-of-inertia-of-hemisphere.html
[6]Euler–Lagrange equation --- Wikipedia, The Free Encyclopedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Lagrange_equation
[7]Body composition during growth in children: limitations and perspectives of bioelectrical impedance analysis: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/26039314
来源：数学模型
编辑：星
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