天气渐暖，不觉间2022冬残奥运会结束快一个月了，说起奥运会，奥运五环便出现在脑海中！五个环一环套一环，象征五大洲紧密连接。这些套环可谓是我们日常生活的常客，但是大家莫要因此小瞧了这些套环，这里面其实蕴藏着很多深刻的学问。我们本期的有趣知识就从这小小的套环出发。
我们从一个简单的问题开始，如果我们有三个橡皮环，那么有多少种使得这三个环套在一起不分离的方法呢？读者肯定一下子可以想到不少套环方式，如图1所示的连接。
图1 常见的存在两两绑定的套环。
但是除了上面这些套环方式之外，还有一种特殊的套环如图2所示。
图2，三种等价的Borromean环，虽然看起来不同但是经过拉伸后是一样的。
如果不仔细看，肯定会觉得和之前的套环没什么不同。但仔细观察会发现图2中三个环两两之间都不套在一起，但是三个环却是套在一起不分离的。只要我们拆掉一个环，那么这个体系便彻底分离，这类特殊的连接环被称为Brunnian连接，其中最简单三环连接也叫Borromean环，进一步还有更多环更多叉点类型的复杂套环[1]，如图3所示。
图3 Brunnian环,多个交叉点以及多个环的情形，摘自[1]。
这种特殊结构的套环反映的是物体之间特有的多体关联，这种关联无处不在。考虑更抽象一点的例子：一个概率论中的例子——两两独立但不相互独立。如何理解呢？我们以一个具体的概率事件来说明。顺序独立地抛两个公平的骰子(1-6随机出现)，事件的概率空间为(n1,n2)，其中n1=1...6为第一个骰子的点数，n2=1...6为第二个骰子的点数。一共有6*6=36种可能。定义三个事件A、B、C：
事件A两个骰子点数之和为9。
事件B第一个骰子点数为奇数。
事件C第二个骰子点数为偶数。
可以验证事件A、B、C两两之间是独立的，即满足P(xy)=P(x)*P(y)
P(AB) = 2/36 = P(A)*P(B)=4/36*1/2
P(AC) = 2/36 = P(A)*P(C)=4/36*1/2
P(BC) = 1/4 = P(B)*P(C)=1/2*1/2
但是P(ABC)=2/36不等于P(A)*P(B)*P(C)=1/36，这就是所谓的两两独立但不相互独立。
关键点在于当事件A不发生的时候，B、C两事件两两独立，第一个骰子的奇偶性不影响第二个骰子的奇偶性。但是一旦事件A发生，要求两数之和为9，则仅有两种可能性即（3，6）与（5，4），此时很明显看出B事件发生一定意味着C事件发生。
我们今天故事远不止如此。这种奇妙的关联，可不仅仅存在于数学概念中。Borromean环在生物、化学、物理中都有其具体实现。
在分子结构的研究领域中，研究者的很感兴趣的一个方向就是用微观分子（如DNA、有机化合物分子等）按设想去合成某些特定结构。这些具有特定结构的合成物可能会有特殊的物理、化学、生物性质出现。
在生物学领域的DNA纳米技术研究中，Seeman与合作者在1997年利用DNA碱基配对设计合成了DNA Borromean链环[2]，如图4所示。图4a为最简单的Borromean环，有6个交叉点（内三外三）。利用DNA片段，如同搭积木一样，将DNA片段拼接起来，用3段B-DNA替换3个内部交叉点，再用3段Z-DNA替换3个外层交叉点，然后将末端闭合起来拼成Borromean环图4b。
图4 DNA分子合成Borromean环结构。摘自[2]
在化学领域的分子化学研究中，2004年Stoddart（2016年因分子机器获得诺贝尔化学奖）与合作者充分利用分子识别与分子自组装的特性，这些特性则类似于拼图，只在特定位点发生化学反应连接起来。使用六个DFP分子与六个DAB分子，其分子结构如图5E表示，在锌(Zn)离子的催化下合成了这一拓扑分子结构[3]。如图5所示。
图5化学分子合成Borromean环结构。摘自[3]
在物理学的研究中，Borromean关联的典型例子就是Efimov效应[4]。微观世界粒子的运动服从量子力学定律。两原子间根据测不准原理导致无法靠的太近，一旦靠近就会由于动量的涨落而弹开，因此要想形成两原子靠的很近的分子，两原子间的吸引要足够强，在三维世界中两个互相吸引的玻色子形成分子存在一个临界吸引强度[5]。在吸引强度弱于临界强度时候，两玻色子无法形成两体分子态，此时两体散射长度1/a<0(如图6中左边区域)。临界强度下1/a=0。当吸引强度变强越过临界强度后，两体分子态才可以形成，此时两体散射长度1/a>0(如图6中右边区域)。
根据上面所述的微观规律，两个玻色子三维下在散射长度1/a<0的时候，因为吸引不够强而没法形成分子态，即“绑”不到一起。但是如果在1/a<0的时候再放进一个一模一样的玻色子，这时候有趣的事情出现了：原本两两无法绑定形成两体分子的三个玻色子一起却可以绑定成一个三体分子，如图6中的1/a<0情况下的三体分子态。这样的三体分子最早由苏联物理学家Efimov于1970年发现[4]，后来就被称为Efimov分子。在2006年，这样的三体Efimov分子态在冷原子实验中被观测到，证实了其存在性[6]。
图6 Efimov三体束缚态的能谱结构，其中1/a<0的区域对应吸引不够强无法形成两体分子，但是可以形成三体分子。从左到右为吸引强度增大1/a=0处对应临界吸引强度。摘自[6]
不仅在上述的少物理体系（3个原子）存在这种特殊关联，在最近的研究中[7]，这种特殊的Borromean关联被推广到超冷原子中的多体量子液滴体系。这种量子液滴奇特的地方在于不需要外界的束缚就能稳定存在，不会塌缩也不会膨胀。通过理论计算平均场相图结合量子修正，研究者发现，如果考虑三组分的玻色爱因斯坦凝聚体，其中每一组分原子都有超过一万个原子凝聚在一起，像军队一样整齐行动。在特殊的凝聚体内部外部相相互作用下，凝聚体两两之间不可以形成自束缚量子液滴，但是由于第三组分的存在，密度涨落诱导了两组分间吸引，导致三组分一起却可以形成自束缚液滴态，这恰好反映了这种Borromean关联。感兴趣的读者可以参考更详细、更专业的介绍[8]。
通过上面我们列举的从数学到生物化学再到物理的Borromean环例子，我们看到一个普普通通的套环连接了如此多的的学科，科学其实并不复杂。
参考文献：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Brunnian_link
[2] https://www.nature.com/articles/386137b0
[3] https://www.science.org/doi/10.1126/science.1096914
[4] https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0370269370903497?via=ihub
[5] https://arxiv.org/abs/0801.2500
[6] https://www.nature.com/articles/nature04626
[7] https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.127.043002
[8] http://www.iop.cas.cn/xwzx/kydt/202110/t20211014_6222440.html
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