亚里士多德 三段论
三段论是一个包括大前提、小前提和结论三个部分的论证形式，这是—个基本推理的模式。三段论有不同的种类，亚里士多德称它为格，最初弧里士多德定义了三种格，后来经院学者又增加了第四格，但现在已经证明后三种格可以归结为第一格。下面我们比较仔细地分析第一格，我相信，通过这个分析可以理性地把握数学证明的形式，特别是把握基本推理的
逻辑判断模式。三段论的第一格分为四种型，分别阐述如下：
全称肯定型 专业术语为AAA型。亚里士多德给出的例子是：
凡人都有死。苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。
上述三句话分别就是大前提、小前提、结论。如果用A表示人的集合，用x表示苏格拉底，用P表示死这样的事情，则上面的推理形式可以为
A→P
x∈A
/x→P (1)
其中／代表“所以”的意思，即／的前面是条件，／的后面是结论。显然，这是一个基本推理，因为这是从一个命题判断A→P直接到达另一个命题判断x→P的过程，其中过渡的桥梁是x∈A。这个推理模式是不会有任何错误的，因为结论x→P是来源于大前提A→P的定义，因此，从条件到结果是必然的。从推理的过程看，可以认为这个形式的推理是不言而喻的，甚至可以认为这个形式的推理是毫无意义的，但是，这个论证形式在日常生活中特别是在数学证明中却是非常重要的。
回忆欧几里得《原本》中的第一个数学问题，这个问题的证明可能是现存的能够被称为数学证明的第一个证明。数学问题是：对于给定的线段AB，要求在AB上作一个等边三角形。欧几里得首先作出了点C，然后给出结论：“已经证明了CA，CB都等于AB，因为等于同量的量彼此相等，所以CA也等于CB。因为三条线段CA，AB，BC彼此相等，所以三角形ABC是等边的。”（参见《图形抽象的典范》）我们把欧几里得的证明转换为三段论的形式：
凡是等量彼此相等。CA，CB都等于AB。所以CA等于CB。
如果用集合A表示“所有的等量”，用命题P表示“彼此相等”，利用欧几里得给出的第一个公理：等于同量的量彼此相等，可以得到大前提A→P。接下来，用元素x表示关系“CA =AB且CB =AB”，因为x∈A，那么结论是“三个线段彼此相等”，即x→P。可以看到，数学的第一个证明就利用了三段论的推理形式。
事实上，在三段论的推理过程中结论反而不是重要的，关键在于前两条A→P和x∈A是否成立，第一条通常是一个已知事实，比如公理，假设或者定理，因此，第二条往往是数学证明的重点。我们通过三段论的省略形式来分析前两条的重要性，在我们的日常生活中经常会用到这些省略形式。
省略大前提 往往认为大前提是人所共知的，可以省略，于是推理形式为：
x∈A
/x→P
这样，亚力士多德的那段话就变为：“苏格拉底是人。所以苏格拉底有死。”
省略小前提 往往是为了便捷，把小前提与结论一起阐述了，于是推理形式为：
A→P
/x→P
这样，亚里士多德的那段话就变为：“凡人都有死。所以苏格拉底有死。”
上面的推理形式在我们的日常生活中似乎是可以的，但是，在数学的证明过程中一定要慎重使用这种推理形式，在数学的证明过程中一定要对大前提和小前提进行明确说明，否则可能会出现错误。
比如，关于省略大前提的例子：
矩阵的乘法是乘法，所以矩阵乘法可以交换
这个结论是不正确的，因为我们通常所说的矩阵乘法是不可交换的。那么，上述推理的问题出在哪里呢？就在于省略的大前提：“乘法是可以交换的。”就像我们曾经分析过的，在大前提中所说的乘法是指通常的四则运算中的乘法；而矩阵的乘法以及群的乘法是在四元数的启发下定义的乘法，这种乘法是不满足交换律的，这种乘法只是一种名义定义，并不是通常在
数的意义下的乘法。如果用A表示四则运算的乘法或者满足交换律的乘法，用x表示矩阵乘法，那么x∈A不成立.
再比如，关于省略小前提的例子：
凡数都可以比较大小。所以复数可以比较大小。
这个结论显然也是不对的，因为在一般情况下复数是不可以比较大小的。那么，问题出在什么地方了呢？回忆我们在《数的表示》中关于数的定义：数字是那些能够由小到大进行排列的符号，这便是大前提中所说的数。用A表示这个数集，用x表示复数，因为复数并不是通常意义的数（参见《复数的意义》），不具有数集A所具有的那些性质，因此x∈A不成立。
所以，在数学的证明中不能使用三段论的省略形式，必须注意到：小前提被大前提包含是三段论的核心，如果用省略形式可能会出现基本概念的混淆，也就是说，在三段论的论证过程中证明x∈A是不可以忽略的，这一点也是同一律所要求的。
全称否定型 专业术语为EAE型。亚里士多德给出的例子是：
没有一条鱼是有理性的。所有的鲨鱼都是鱼。所以没有一条鲨鱼是有理性的。
这个推断在本质上与全称肯定型是一致的，只不过是用了否定的形式。如果用A表示所有的鱼，用P表示理性，则A～P述说了大前提；进一步用x表示鲨鱼，那么，这个三段论形式为
A～P
x∈A
/x～P (2)
这种推理模式得到的结论也是必然的，因为与全称肯定型一样，仍然是结论出自大前提的定义，在这个推理模式中，重要的工作仍然是验证小前提是否成立。我们给出一个数学的例子：
以有理数为系数的方程的根不可能是π。所有的整数都是有理数。所以以整数为系数的方程的根不可能是π。
这个推论显然是正确的。与全称肯定型比较，有一个问题是应当注意到的，就是在全称肯定型中的小前提中涉及的事物是一个元素，而现在小前提中涉及的事物是一个集合，亚里士多德没有注意到这个区别，但是在现代逻辑学中，学者们认为分辨这个区别是重要的，我们讨论如下。
令A和B为两个集合，如果B中的任意元素都属于A，即x∈B→x∈A，则称集合B是集合A的子集合，记为B⊆A。可以看到，在全称否定型亚里士多德给出的例子中，所有的鲨鱼也是一个集合，如果用B表示这个集合，三段论的形式应当为
A～P
B⊆A
/B～P (3)
显然，这种推论形式也可以用于全称肯定型，即可以在(1)式中把元素x变换为子集合B.罗素认为这个变换是可能出现问题的，比如，变换亚里士多德最初的例子：
凡人都有死。所有希腊人都是人。所以所有希腊人都有死。
针对这个形式。罗素认为有两个问题是需要注意的，一个问题是需要验证“所行的希腊人都是人”这个命题，因为这个命题应当分解为两个子命题：“有希腊人存在”和“如果有东西是一个希腊人，那么这个东西是人”；还有一个问题是判断“苏格拉底有死”与判断“所有希腊人都有死”是不一样的，因为前者是具体的存在，而后者是一般的存在，正如我们在《图形与图形关系的抽象》中讨论的那样，一般存在不是现实的存在，因此要判断一般存在的属性是非常困难的。于是罗素认为：“这种纯形式的错误，是形而上学与认识论中许多错误的一个根源。”
我并不认为罗素指出的两个问题有多么严重，至少在数学中是这样，因为在数学中可以认为一个元素也是子集。但是他指出的，判断一般存在的属性要比判断具体存在的属性困难，这是千真万确的，我们很容易判断苏格拉底是否会死，但很难判断所有的人是否会死，可是，按照这样的思维逻辑，三段论似乎是本末倒置了，因为，在亚里士多德倡导的三段论中，把一个判断困难的、具有一般性的命题作为前提，把一个判断不困难的、具有特殊性的命题作为结论。如何理解这个问题呢？这就涉及了三段论的本质。
工具论
事实上，统观亚里士多德的《工具论》可以知道，亚里士多德提出的前提是有根基的，典至可以追溯到公理和公没，比如在上述欧几里得的证明中，大前提“等于同量的量彼此相等”就是一个公理，因此，我们可以理解大前提中提出的命题是已经被确认的，也就是说，“凡人都有死”这个命题是已经由“许许多多”个苏格拉底有死总结出来的，而利用三段论推断的是“这个”苏格拉底有死，正是因为判断具体存在的属性比判断一般存在的属性容易，因此，日常生活和生产实践中，人们通常由具体存在的属性推断一般存在的属性，这种推理的方法被称为归纳法，我们将在后续《数学中的归纳推理》专题讨论这个问题。经典归纳法是由英国哲学家培根(1561～1624)总结出来的，他在总结之前毫不留情地批评了亚里士多德的三段论（参见《数学的抽象》）。
我认为，至少对于数学的论证，下面的问题是重要的：在直言三段论的论证模式(1)式中，用子集合B代替元素x时必须慎重，这是因为，在集合A中不完全成立的命题在子集合B中可能完全成立，看下面的例子：
所有的三角形至少有一个锐角。所有的直角三角形都是三角形。所以所有的直角三角形都至少有一个锐角 (4)
这个结论是正确的，但这个结论是不充分的，因为直角三角形恰好有两个锐角。对于数学的推理而言，我们总是希望得到恰到好处的结果，很显然，结论“所有的直角三角形恰有两个锐角”要比命题(4)给出的结论更加准确，这个问题涉及大前提中集合A与命题P之间的关系，我们将在下一节讨论这个关系，从而给出三段论的一般形式。
亚里士多德
下面继续讨论三段论第一格中其余两种类型，通常被称为特称型。
特称肯定型 专业术语为AII型。亚里士多德给出的例子是：
凡人都有理性。有些动物是人。所以有些动物是有理性的。
特称否定型 专业术语为EIO型。亚里士多德给出的例子是：
没有一个希腊人是黑色的。有些人是希腊人。所以有些人不是黑色的。
与全称型不同的是，特称型的推断中使用了“有些”这样的词语，因此这样的推断与全称型有本质的不同：全称型的小前提是在集合A的内部；特称型的小前提是在集合A的外部，比如对于全称型，“苏格拉底”是在“人”这个集合的内部，“鲨鱼”是在“鱼”这个集合的内部；但对于特称型，“动物”是在“人”这个集合的外部，“人”是在“希腊人”这个集合的外部，所以在结论中才必须用“有些”这样的限制词。特称肯定型的符号形式可以描述为：
A→P
A⊆B
/A∩B→P (5)
特称否定型的符号形式可以描述为：
A～P
A⊆B
/A∩B～P (6)
在上述推断中，集合B包含大前提中的A，其中符号A∩B表示的也是一个集合，称其为集合A与B的交集合，表示的是集合A和集合B的共同部分，即x∈A∩B意味着x∈A并且x∈B。显然，如果A⊆B，那么必然有A∩B=A。因此，就形式而言(5)和(6)中的结论是一点意义也没有的。事实上，三段论的这两个特称型的核心是为了换一个称谓，比如，虽然在(5)的结论中A ∩B指的仍然是人，但指的是动物集合B中人的那个部分；虽然在(6)的结论中A∩B指的仍然是希腊人，但指的是人的集合B中希腊人的那个部分。
就数学而言，如果是为了得到肯定的结论，那么这种论证是没有用处的，因为对于数学，一个结论在“有些”情况下成立是没有意义的，比如，我们在《数量与数量关系的抽象》中讨论过哥德巴赫猜想，容易验证小于100的偶数都可以表示为两个素数和的形式，于是由(5)可以得到推论：
所有100以下的偶数都可以表示为两个素数的和。有些偶数是100以下的。所以有些偶数可以表示为两个素数的和。
显然，对于数学来说，这样的结论是一点意义都没有的。
但是，为了得到数学的否定结果，(6)的论证形式却是强有力的，因为对于科学而言，为了驳倒一个论断只需要举出一个反例就可以了。比如，在《几何作图及相关的数学发展》中涉及三等分角的问题，虽然我们只讨论了60度角这一种情况，但我们可以从这种情况出发进行下面的推论：
60度角是不能三等分的。有些角是60度角。所以有些角是不能三等分的。
进而得到结论：三等分角是不可能的。虽然在上述三段论的大前提中，我们用一个元素代替了集合，但这种形式在数学中是更加有效的。
这样就可以得到结论：对于数学的推理而言，全称肯定、全称否定、特称否定这三种形式的直言三段论是有效的，也是经常被使用的。
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