一、选择题 共40分1. 若集合M={x|√x <4},N={x|3x≥1}，则M∩N=，我来为大家讲解一下关于2022高考数学新高考卷一答案?跟着小编一起来看一看吧!
2022高考数学新高考卷一答案
一、选择题 共40分
1. 若集合M={x|√x <4},N={x|3x≥1}，则M∩N=
A. {x|0≤x<2} B. {x|1/3≤x<2} C. {x|3≤x<16} D. {x|1/3≤x<16}
解析：由题意知，x=9∈(M∩N)，排除AB,x=1/3∈(M∩N)，排除C
选择D
2.若i(1-z)=1，则z z=
A. -2 B.-1 C.1 D.2
解析：i(1-z) =1,-(1-z)=i,z=1 i,z与z共轭的和是2
选择D
3. 在△ABC中，点D在边BC上，BD=2DA，记CA=m，CD=n，则CB=
A. 3m-2n B. -2m 3n C. 3m 2n D. 2m 3n
解析：
AD²=m² n²-2|m||n|cosC
BD=2DA
∴BD²=4DA²= 4m² 4n²-8|m||n|cosC
BD²=4m² 4n²-8 mn
=4(m²-mn n²-mn)
=4(m-n)²
CB=n DB
CB=2m-n或-2m 3n
选择B
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km²；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km²，将该水库在这两个水位之间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为( )(√7≈2.65)
A. 1.0×109m³ B. 1.2×109m³ C. 1.4×109m³ D. 1.6×109m³
解析：当深度在中间4.5m时
水面的面积为
[√(1.4×108) √(1.8×108)]²/4
=0.8×108 √(7×0.09)×108
=0.8×108 0.3√7×108
≈1.595×108
那么可知水量要大于1.595×108×4.5 1.4×108×4.5≈1.35×109
要小于1.595×108×4.5 1.8×108×4.5≈1. 53×109
选择C
5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3
解析：
第一类，随机2个数中含有2：互质有3组
第二类，随机2个数中不含2含有3：互质有4组
第三类，随机2个数中不含2,3含有4：互质有2组
第四类，随机2个数中不含2,3,4含有5：互质有3组
第五类，随机2个数中不含2,3,4,5含有6：互质有1组
第六类，随机2个数中不含2,3,4,5,6含有7：互质有1组
因此互质的概率为(3 4 2 3 1 1)/C27=2/3
选择D
6.记函数f(x)=sin(ωx 0.25π) b (ω>0) 的最小正周期为T，若2π/3<T<π，且y=f(x)的图像关于点(1.5π,2)中心对称，则f(0.5π)=
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3
解析：根据f关于点(1.5π,2)中心对称知sin(1.5ωπ 0.25π)=0，b=2
那么ω=-1/6 2k/3，根据T的关系可知ω=2.5
那么f(0.5π)=1
选择A
7.设a=0.1e^0.1，b=1/9，c=-ln0.9，则( )
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
解析：a,b,c都是正数，b=ln e^(1/9),c=ln(10/9)
观察e^(1/9)与10/9，知
∵e=lim(1 1/x)^x>(1 1/9)^9
∴b>c
或者
(1 1/9)^9<2 4/9 C(3,9)/729 C(4,9)/9^4 C(5,9)/9^5 5C(6,9)/9^6
(1 1/9)^9<2.444 0.14 0.008≈2.592<e
因此，c<b，排除A
10a= e^0.1,10b=10/9
观察e^0.1与10/9，知
(1 1/9)^10>1 10/9 45/81 120/3^6 210/3^8 1260/3^10 70/3^11
(1 1/9)1^0>2.666666 0.1975 0.0001≈2.8642>e
因此b>a，排除B
a=0.1 e^0.1,c=-ln0.9
设f(x)=xe^x ln(1-x)
当1>x>-1时，f’=[(1-x²)e^x-1]/(1-x)
观察1-x²与函数e^(-x)
当x=0.5时，1-x²>e^(-x)
所以当x<0.5时, (1-x²)e^x>1,f’>0单调增
f(0.1)>f(0)
a>c，排除D
选择C
8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且
3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A.[18,81/4] B. [27/4,81/4] C. [27/4,64/3] D. [18,27]
解析：根据题意可知球的半径r=3
根据题意，当l取值为3√3时，对棱截面为正三角形，那么此时四棱锥的高为4.5，底面积为27/2，那么体积为1/3×27/2×4.5=81/4
当高为4时，l²=8 16=24，体积为16×4/3=64/3>81/4，排除AB
当l取值为3时，对棱截面是顶角为120°的等腰三角形，那么此时四棱锥的高为1.5，底面积为27/2，那么体积为1/3×27/2×1.5=27/4
选择C
二、选择题(多项) 共20分
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则
A. 直线BC1与DA1所成的角为90° B. 直线BC1与CA1所成的角为90°
C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
解析：A选项正确，异面垂直，B选项正确，与射影垂直，就与直线垂直
C选项错误，作垂线可得所成的角为30°，D选项正确，通过对角线正好可以算出所成角
选择ABD
10.已知函数f(x)=x³-x 1，则
A．f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
解析：
f’(x)=3x²-1在导数为0的点处异号，A正确
当取小值点x=1/√3时，f(x)>0，因此只有一个零点，B错误
1-f(t)=- t³ t
f(t)-1= t³-t
互为相反数，C正确
令f’(x)=2，得x=1或-1，而直线y=2x过点(1,2)和(-1,-2),f(1)=1,f(-1)=-1
因此D错误
选择AC
11. 已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C: x²=2py (p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则
A. C的准线为y=-1 B. 直线AB与C相切
C. |OP|·|OQ|>|OA|² D. |BP|·|BQ|>|BA|²
解析：根据点A在C上可以求出抛物线方程为x²=y，准线为y=-0.25，A错误
将直线AB方程带入抛物线得x²=2x-1，判别式Δ=0，B正确
设直线BQ方程为y=kx-1，带入得x²-kx 1=0
|OP|²·|OQ|²=(x1² y1²)(x2² y2²)
= x1²x2² x1²y2² x2²y1² y1²y2²
= x1²x2² x1²x24 x2²x14 x14x24
= x1²x2²(1 x1² x2² x1²x2²)
=2 (x1 x2)²-2x1x2
=k²
|OP|·|OQ|>2
|OA|²=2
C正确
|BP|²·|BQ|²=[x1² (y1 1)²][x2² (y2 1)²]
=(x1² y1² 1 2y1)(x2² y2² 1 2y2)
=(3x1² x14 1)(3x2² x24 1)
=9 3x2² 3x1² 3x1² 1 x14 3x2² x24 1
= 11 6(x1 x2)²-12 (x1² x2²)²-2
=-3 6k² (k²-2)²
=k4 2k² 1
|BP|·|BQ|=k² 1>5
|BA|²=5
D正确
选择BCD
12.已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，记g(x)=f’(x)，若f(1.5-2x)，g(2 x)均为偶函数，则
A． f(0)=0 B. g(-0.5)=0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2)
解析：根据题意f(1.5-2x)=f(1.5 2x)，x=1.5是对称轴，C正确
g(2 x)=g(2-x)，x=2是g的对称轴
f(x)=cos[π(x-1.5)] 1时满足题意
此时f(0)=1，g(-0.5)=0，g(-1)≠g(2)，AD错
选择BC
三、填空题 共20分
13.(1-y/x)(x y)^8的展开式中x²y^6的系数为____ (用数字作答)
解析：原式=(x y)^8-y(x y)^8/x
(x y)^8中x²y^6的系数为，C(6,8)=28
-y(x y)^8/x中x²y^6的系数为，-C(5,8)=-56
填-28
14.写出与圆x² y²=1和(x-3)² (y-4)²=16都相切的一条直线方程____
解析：一个是单位圆，一个是半径为4圆心为(3,4)的圆，发现两圆相切
那么与圆心连线垂直的就是一条切线，切点为(0.6,0.8)，斜率为-0.75
填y=-0.75x 1.25
15.若曲线y=(x a)e^x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____
解析：y’=(x a 1)e^x，当x=-a-1<0时取极小值，此时y=- e^(-a-1)<0
此时当x=0时，要y>0才存在两条切线，即a>0且-a-1<0，即a>0
填a>0
16.已知椭圆C:x²/a² y²/b²=1 (a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1,F2，离心率为0.5，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是____
解析：根据离心率是0.5，可设DE的方程为y=x/√3 c/√3，那么
\frac{x^2}{a^2}+\frac{\left ({x\over\sqrt 3}+{c\over \sqrt 3}\right )^2}{b^2}-1=0
13x^2+8cx-32c^2=0
x_1-x_2=\frac{24\sqrt 3}{13}c
(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=36
(x_1-x_2)^2+\frac{(x_1-x_2)^2}{3}=36
c=\frac{13}{8}
x_1=\frac{-1+3\sqrt 3}{2}
x_2=\frac{-1-3\sqrt 3}{2}
AD^2 ={x_1}^2+\left (\frac{x_1}{\sqrt 3} +\frac{c}{\sqrt 3} -b \right )^2 =\frac{223-84\sqrt 3}{16}
AD=\frac{14-3\sqrt 3}{4}
同理
AE=\frac{14+3\sqrt 3}{4}
填13
四、解答题 共70分
17.(10分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Sn/an}是公差为1/3的等差数列
(1)求{an}的通项公式
(2)证明:1/a1 1/a2 … 1/an<2
解析：(1)
\frac{S_n}{a_n}=1+\frac{n-1}{3}
S_n-S_{n-1}=a_n
化简可得
\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}
\prod _{k=1}^{n-1}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+2}{k}
a_n=\frac{n(n+1)}{2}
(2)
\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{a_k}=2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\times (k+1)}
=2\sum_{k=1}^n\left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right )
=2\left (1-\frac{1}{n+1} \right )<2
18.(12分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)
(1)若C=2π/3，求B
(2)求(a² b²)/c²的最小值
解析：
(1)
\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin {2B}}{1+\cos {2B}}
\frac{\cos \left ({\pi\over 3}-B \right )}{1+\sin \left ({\pi\over 3}-B \right )}=\frac{\sin B}{\cos B}
\cos \left ({\pi\over 3}-B\right )\cos B-\sin \left ({\pi\over 3}-B\right )\sin B=\sin B
B=\frac{\pi}{6}
(2)由(1)得
\sin B=\cos \left (\pi -C \right )
\frac{\pi}{2}+B=C
A=\frac{\pi}{2}-2B
由正弦定理
\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{\sin^2A+\sin^2B}{\sin^2C}
=2(1+\cos{2B})+\frac{4}{1+\cos {2B}}-5
\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge2\sqrt{2(1+\cos{2B})\cdot\frac{4}{1+\cos{2B}}}-5
\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge4\sqrt 2 -5
经计算，取等号时
\cos {2B}=\sqrt 2-1
19.(12分) 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2
(1)求A到平面A1BC的距离
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值
19题图
解析：
(1)设三棱锥A1-ABC的体积为V，可知V=4/3
那么A到平面A1BC的距离为4/2/√2=√2
(2)取A1B的中点E，过E作EF⊥BD于F，连接EF
辅助线
∵AA1=AB,E是A1B的中点
∴AE⊥A1B
又平面A1BC⊥平面ABB1A1
∴AE⊥平面A1BC
AE=√2
∵EF⊥BD
∴BD⊥AF
∠EFA是所求二面角的补角
∵AE⊥BC, B1B⊥BC
∴BC⊥平面ABB1A1
∠A1BC =90°
A1A=2
△ABC的面积为4/2=2
AB=2，BC=2×2/2=2
A1B=2√2
∵D为A1C的中点
∴tan∠BA1C=tan∠FBE=1/√2
EF=BEsin∠FBE=√2/√3
tan∠EFA=√2/(√2/√3)=√3
∴所求正弦值为√3/2
20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
| 不够良好| 良好
病例组 | 40 | 60
对照组 | 10 | 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地区的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示“选到的人患有该疾病”，P(B|A)/P(B|A)与P(B|A)/P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患有该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R
①证明：R= P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)
②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值
附：Κ²=n(ad -bc)²/[(a b)(c d)(a c)(b d)]
P(Κ²≥κ) | 0.050 | 0.010 | 0.001
κ | 3.841 | 6.635 | 10.828
解析：
(1)
K ^2=\frac{200\cdot (40\cdot 90-60\cdot 10)^2}{(40+60)(10+90)(40+10)(60+90)}
=24>10.828
∴ 有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)
P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.8 ,P(B|A)=0.2, P(B|A)=P(BA)/ P(A)=60/150=0.4
①P(B|A)=P(BA)/P(A)=90/150=0.6
∴R=P(B|A)/P(B|A)÷[P(B|A)/P(B|A)]=0.8/0.2÷(0.4/0.6)=6
∵P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.6, P(A|B)=0.9
P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1
∴P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)=6
R=6
②由①得R的估计值是6
21.(12分) 已知点A(2,1)在双曲线C:x²/a²- y²/(a²-1)=1 (a>0)上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0
(1)求l的斜率
(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积
解析：(1)设AP,AQ的方程为y=kx 1-2k,y=-kx 1 2k，A在双曲线上，分别代入有
\frac{4}{a^2}-\frac{1}{a^2-1}=1
a=\sqrt 2
C:\frac{x^2}{2}-y^2=1
\frac{x^2}{2}-k^2x^2-2(1-2k)kx-(1-2k)^2=1
x_P=\frac{-(1-2k)^2-1}{2\left ({1\over 2}-k^2\right )}=\frac{(1-2k)^2+1}{2k^2-1}
同理
x_Q=\frac{(1+2k)^2+1}{2k^2-1}
\frac{y_Q-y_p}{x_Q-x_p}=\frac{-k(x_Q+x_p)+4k}{x_Q-x_p}=-1
(2)由于AP,AQ斜率和为0，且tan∠PAQ=2√2，设k>0有
\frac{2k}{1-k^2}=2\sqrt 2
k=\frac{\sqrt 2}{2}
根据渐近线斜率，舍
\frac{2k}{1-k^2}=-2\sqrt 2
k=\sqrt 2
根据(1)
x_P=\frac{10-4\sqrt 2}{3}
y_P=\frac{4\sqrt 2-8}{3}+1
1-y_P=\frac{8-4\sqrt 2}{3}
2-x_P+1-y_P=\frac{4}{3}
S_P=\frac{4}{3}\cdot \frac{8-4\sqrt 2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{16-8\sqrt 2}{9}
同理
x_Q=\frac{10+4\sqrt 2}{3}
y_Q=\frac{-8-4\sqrt 2}{3}+1
S_Q=\frac{4}{3}\cdot \frac{8+4\sqrt 2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{16+8\sqrt 2}{9}
S_{\triangle PAQ}=S_Q -S_P=\frac{16\sqrt 2}{9}
22.(12分) 已知函数f(x)=e^x-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值
(1)求a
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
解析：(1)由于a≤0时不满足条件，因此a>0
f’(x)= e^x-a
f在x=ln a时取最小值
g’(x)=a-1/x
g在x=1/a时取最小值，若有相同最小值，那么
a-alna=1-ln(1/a)
a=1
(2)根据图像知，f与g，存在交点，并且此时y=b与两函数图像将出现三个不同交点
那么有
e^x-x=b
x-lnx=b
设共同交点横坐标是m
设函数h(t)= e^(m-t)-(m-t)-[(m t)-ln(m t)]
h(t)= e^(m-t)-2m ln(m t)
当t很大时h(t)>0
h’= -e^(m-t) 1/(m t)
根据增减趋势，设当t=u∈(-m,0)时h’=0
t<u时e^(m-t)<1/(m t)
h’>0
设当t=v>0时h’=0
t>v时e^(m-t)<1/(m t)
h’>0
当t∈(u,v)时, e^(m-t)>1/(m t)
h’<0
t=u取极大值，t=v取极小值
又t=0∈(u,v)时，h=0
∴h(t)=0至少存在两个根，除了t=0以外出现一个根满足h(t)=0，就满足题意
因此存在这样的直线y=b
,
