大家知道, 计数问题中有两个基本要素: 一个是"分组", 一个是 "关于排列组合计数模式的再认识".
下面我们来谈谈如何认识排列和组合模式中的这两个要素. 先看一个例题.
例 A.1.1甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球双打练习, 两人一对地结为对打的双方, 有多少种不同的结对方式?
可能有人会认为这个问题是简单的组合问题: 从四人中选出两人结为一对, 剩下的两人结为一对即可. 于是他们算得: 有 6 种方式. 但事实是否如此呢?我们还是实际地来排一排吧! 不难看出, 一共只有如下 3 种结对方式:
(1) {甲, 乙}{丙, 丁};
(2) {甲, 丙}{乙, 丁};
(3) {甲, 丁}{乙, 丙}.
这个事实说明, 组合模式并不适用于这个问题. 有人可能会问: 这是为什么呢? 组合, 组合, 不就是用来解决分组和结合问题的吗?
我们说: 固然不错, 组合是用来解决 “分组" 和”结合" 问题的, 但是这里仍然有着一个顺序问题. 固然, 在按组合模式分出的组内, 元素之间是没有顺序的, 但是需要指出的是: 在组与组之间却存在着顺序, 或者叫做“编号"!
应当注意, 在按组合模式计算时, 我们计算的是”取出两个人" 的所有不同取法数目. 假如把取出的两人算为一组, 而把留下的两个人算为另一组. 那么由于“取出甲、乙, 留下丙、丁" 和 “取出丙、丁, 留下甲、乙" 是两种不同的取出方式, 从而在这种计算方法中, 就被算作是两种不同的“分组" 方式了,于是就得到了如下 6 种分组方式:
(1) 第一组为: {甲, 乙}; 第二组为: {丙, 丁}.
(2) 第一组为: {丙, 丁}; 第二组为: {甲, 乙}.
(3) 第一组为: {甲, 丙}; 第二组为: {乙, 丁}.
(4) 第一组为: {乙, 丁}; 第二组为: {甲, 丙}.
(5) 第一组为: {甲, 丁}; 第二组为: {乙, 丙}.
(6) 第一组为: {乙, 丙}; 第二组为: {甲, 丁}.
这就是说, 在这种计算中, 我们已经把所分出的组编了号: 取出的两个人为第一组,剩下的两个人为第二组.
这就告诉我们:"组合" 是一种"有编号的分组模式", 或者说, 按照组合模式计算出的分组方式数目中, 已经天然地把组的不同编号方式数目计算在内了.
这就是说, 我们需要重新认识组合模式. 在运用组合模式计数时, 必须时时注意: 在计算出的分组方式数目中, 不但计入了谁和谁分在一个组的不同方式, 而且还天然地计入了各个组之间的不同编号方式.
运用上述认识, 我们可以方便地解决如下问题.
例 欲将 6 个人分为 3 组, 每组 2 人, 分别从事 3 项不同工作, 求分配方式数.
解：先取出两人从事第 1 项工作, 有
种方式;
再取出两人从事第 2 项工作, 有
种方式;
剩下的两人从事第 3 项工作. 所以一共有
种分配方式.
在这里, 3 项工作是不同的, 在它们之间天然地存在着 “顺序", 或者叫“编号",所以适用于组合模式. 由于分出的组数多于两组, 所以将分组过程分为几步进行.
关于排列组合计数模式的再认识到此结束。
* 本文选自苏淳《概率论（第三版）》
