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七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(1)


【知识要点】

要点一、二元一次方程

含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.

要点诠释:二元一次方程满足的三个条件:

(1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.

(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

要点二、二元一次方程的解

一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的一组解.

要点诠释:

(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值,一般用大括号联立起来,如:

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(2)

(2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,即有无数多对数适合这个二元一次方程.

要点三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

要点诠释:组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数,例如

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(3)

也是二元一次方程组.

要点四、二元一次方程组的解

一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

要点诠释:

(1)二元一次方程组的解是一组数对,它必须同时满足方程组中的每一个方程,一般写成

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(4)

的形式.

(2)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,

如方程组

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(5)

无解,而方程组

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(6)

的解有无数个.

【典型例题】

类型一、二元一次方程

【例1】已知下列方程,其中是二元一次方程的有________.

(1)2x-5=y; (2)x-1=4; (3)xy=3; (4)x y=6; (5)2x-4y=7;

(6)

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(7)

;(7)

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;(8)

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;(9)

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(10)

;(10)

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【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验.

【答案】(1)(4)(5)(8)(10)

【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念.(2)为一元一次方程,方程中只含有一个未知数;(3)中含未知数的项的次数为2;(6)只含有一个未知数;(7)不是整式方程;(9)中未知数x的次数为2.

【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义,对于比较复杂的方程,可以先化简,再根据定义进行判断.

举一反三:

【变式】下列方程中,属于二元一次方程的有( )

A.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(12)

B.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(13)

C.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(14)

D.

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【答案】B

【例2】

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是关于x、y的二元一次方程,求a的值.

【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答.

【答案与解析】

解:根据题意得:|a|-2=1,所以|a|=3,a=±3,而(a-3)x中,a-3≠0,即a≠3,所以a=-3.

【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解,要同时考虑两个未知数的系数与次数,不管方程的形式如何变化,必须满足含有两个未知数,含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件.

举一反三:

【变式1】已知方程

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(17)

是二元一次方程,则m= , n= .

【答案】-2,1/4

【变式2】方程

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(18)

,当

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时,它是一元一次方程.

【答案】

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七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(21)

类型二、二元一次方程的解

【例3】二元一次方程x-2y=1有无数多个解,下列四组值中不是该方程解的是( )

A.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(22)

B.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(23)

C.

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D.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(25)

【答案】B

【解析】

解:当x=0,y=-1/2时,x-2y=1,故A是原方程的解.

当x=1,y=1时,x-2y=-1,故B不是原方程的解.

当x=1,y=0时,x-2y=1,故C是原方程的解.

当x=-1,y=-1时,x-2y=1,故D是原方程的解.

【总结升华】判断一组数值是否是原方程的解,只需要将这组数值代入原方程,能使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的解,否则,不是.

举一反三:

【变式】若方程

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的一个解是

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(27)

,则a= .

【答案】3

【例4】已知二元一次方程

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(28)

(1)用含有x的代数式表示y;(2)用含有y的代数式表示x;

(3)用适当的数填空,使

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(29)

是方程的解.

【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,就是把要表示的未知数当未知数,把其他的未知数当已知数,然后再将方程变形.

【答案与解析】

解:(1)将方程变形为3y=2-x/2,化y的系数为1,得

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(30)

(2)将方程变形为

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,化x的系数为1,得

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(32)

(3)把x=-2代入

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(33)

得, y=1.

【总结升华】用含x的代数式表示y,其实质表示为“y=含x的代数式”的形式.在进行方程的变形过程中,有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要.

举一反三:

【变式】已知:2x 3y=7,用关于y的代数式表示x,用关于x的代数式表示y.

【答案】

解:(1)2x=7-3y,

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(34)

(2)3y=7-2x,

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(35)

【例5】写出二元一次方程

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的所有正整数解.

【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数,先解关于另一个未知数的一元一次方程,当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解,写时注意按一定规律写,做到不重、不漏.

【答案与解析】

解:由原方程得

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(37)

,因为

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都是正整数,

所以当

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时,

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.

所以方程

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的所有正整数解为:

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七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(43)

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.

【总结升华】对题意理解,要注意两点:①要正确;②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.

举一反三:

【变式1】已知二元一次方程

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(46)

,下列说法不正确的是( )

A.它有无数多组解 B.它有无数多组整数解

C.它有4组正整数解 D.它的解中不会出现负整数

答案】D

【变式2】在方程

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(47)

中,若y分别取2、1/4、0、-1、-4,求相应的x的值.

答案】将

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(48)

变形得

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(49)

.

把已知

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值依次代入方程的右边,计算相应值,如下表:

类型三、二元一次方程组及方程组的解

【例6】下列方程组中,是二元一次方程组的是( )

A.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(51)

B.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(52)

C.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(53)

D.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(54)

【答案】D

【解析】A,B中未知数的次数高于或低于一次,而C中出现三个未知数,只有D选项满足题意,故正确答案为D.

【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数;2、未知数的项最高次数都应是一次;3、都是整式方程”.

【例7】判断下列各组数是否是二元一次方程组

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(55)

的解.

(1)

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(2)

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(57)

【答案与解析】

解:(1)把

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(58)

代入方程①中,左边=2,右边=2,所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(59)

是方程①的解.

把x=3,y=-5代入方程②中,左边=

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(60)

,右边=-1,左边≠右边,所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(61)

不是方程②的解.

所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(62)

不是方程组的解.

(2)把

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(63)

代入方程①中,左边=-6,右边=2,所以左边≠右边,所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(64)

不是方程①的解,

再把

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(65)

代入方程②中,左边=x y=-1,右边=-1,左边=右边,所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(66)

是方程②的解,但由于它不是方程①的解,所以它也不是方程组的解.

【总结升华】检验是否是方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.

举一反三:

【变式】写出解为

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(67)

的二元一次方程组.

【答案】

解:此题答案不唯一,可先任构造两个以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(68)

为解的二元一次方程,然后将它们用“{”联立即可,现举一例:

∵ x=1,y=-2,

∴ x y=1-2=-1.

2x-5y=2×1-5×(-2)=12.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(69)

就是所求的一个二元一次方程组.

注:任选的两个方程,只要其对应系数不成比例,联立起来即为所求.

【例8】(淮阳)甲、乙两人共同解方程组

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(70)

由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(71)

.乙看错了方程②中的b.得到方程组的解为

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(72)

.试计算:

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(73)

的值.

【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程,就可以求出字母的值.

【答案与解析】

解:把

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(74)

代入②,得-12 b=-2,所以b=10.

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(75)

代入①,得5a 20=15,所以a=-1,

所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(76)

【总结升华】一组数是方程的解,那么它一定满足这个方程,利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值,所以在今后的学习中要会灵活运用它.

举一反三:

【变式】已知关于

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(77)

的二元一次方程组

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(78)

,求

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(79)

答案

解:将

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(80)

代入原方程组得:

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(81)

,解得

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(82)

, 所以

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(83)

七下二元一次方程组压轴题讲解(数学七下第二章)(84)


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