数学中对无理数的定义是：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
也就是无理数不能表示成：
n，m为整数
我们先来了解一下将循环小数转成分数形式：
如：
循环节有3位，所以可以转换为
通用表达为：
更通用的方式是：
如：
其实以上的公式还差一步，就是要转换成最简分式。
消除分子和分母的公因数其实很繁琐，特别是比较大的数。
在数学中，对整数进行快速因数分解并没有什么好的方法，就是使用素数一个一个尝试。这也是现在密码系统普遍使用的机制。
如RSA加密：
RSA加密是一种非对称加密。可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这能够确保信息的安全性，避免了直接传递密钥所造成的被破解的风险。是由一对密钥来进行加解密的过程，分别称为公钥和私钥。两者之间有数学相关，该加密算法的原理就是对一极大整数做因数分解的困难性来保证安全性。
前面说了，无理数是不能写作两个整数比，但对于研究无理数还不够，数学家需要构造某种形式来表示无理数，但这困扰了人们很久，直到“连分数”的出现，
“连分数”：
连分数(Continued fraction)也叫繁分数，是形如下图的分数：
无理数用数字形式，可以写成以下类似的形式：
n1 ≠ n2 ≠ n3…
于是数学家想到可以用连分数来构造上面无理数的数字形式，如：
通过不停构造连分数的分母形式，可以确保每个数字节（n1，n2，n3，…）都不相同。
我们知道：
而通过麦克劳林公式（泰勒公式的一种特殊形式）我们知道：
因此tan X可以使用连分数来表示：
且又：
将 x = π / 4代入tan x的连分数表达式，使用反证法可证明π是无理数：
irrational：不合理的，无理数。
以上就是证明π是无理数的思路，仅供参考。
趣味：
历史上有无数科学家对π进行过孜孜不倦的研究
其中印度天才数学家拉马努金在1941年发表了的圆周率公式：
1985年，Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位
1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良。
这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
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