因式分解的基本方法和步骤是“一提”、“二套”、“三分组”，即首先考虑是否公因式并提取；接着考虑能否套用公式进行分解；第三再考虑分组分解法．一般地，当多项式为四项或四项以上时，要想因式分解就得运用分组分解法．因此，分组分解法是因式分解的重要方法之一，是一种较高层次的不断尝试思维活动．运用分组分解法的关键是分组，分组时要预见到各组分解后是否达到了如下三个目的之一，否则分组无效．
第一，各组之间有公因式，能用提取公因式法分解；
第二，各组之间的关系具备公式条件，能运用平方差公式或完全平方公式进行分解；
第三，各组之间的关系具备十字相乘法条件，能运用十字相乘法分解．
下面向大家介绍常见的十三种分组思路．
1．按公因式分组
尝试把有公因式的项划为一组．
例1 分解因式：x^2-xy-yz xz．
分析与解：第一、二项有公因式x，第三、四项有公因式z，尝试把它们分别划为一组，得
原式=（x^2-xy） （-yz xz）
=x（x-y） z（x-y）
=（x-y）（x z）．
评注：也可以尝试把第一、四项和第二、三项分别划为一组．但如果认为第一、二、四项有公因式x，把它们划为一组，则各组分解后不能达到上述任何目的之一，因此，这种分组无效．
2．按公式分组
尝试把能用公式分解的项划为一组．
例2 分解因式：x^2-y^2 2y-1．
分析与解：第二、三、四项能用完全平方公式分解，把它们划为一组，得
原式=x^2-（y^2-2y 1）
=x^2-（y-1）^2
=（x y-1）（x-y 1）．
评注：虽然第一、二项或第一、四项也能用平方差公式分解，但各组分解不能达到上述三个目的之一．因此，分组是否有效，需要多次尝试．
3．按系数分组
尝试按系数比相等进行分组．
例3 因式分解：x^3-2x^2-4x 8．
分析与解：第一、二项系数比和第三、四项的系数比相等，都是1：（-2），故尝试把它们分别划为一组，得
原式=（x^3-2x^2） （-4x 8）
=x^2（x-2）-4（x-2）
=（x-2）（x^2-4）
=（x-2）^2（x 2）．
评注：由于第一、三项和第二、四项的系数比也相等，都是1：（-4），因此也可以尝试把它们划分别为一组．
4．按十字相乘法分组
尝试把能用十字相乘法分解的项划为一组．
例4 分解因式：a^2-ab-2b^2-3a 6b．
分析与解：第一、二、三项能用十字相乘法分解，故把这三项划为一组，另两项划为一组，得
原式=（a^2-ab-2b^2） （-3a 6b）
=（a b）（a-2b）-3（a-2b）
=（a-2b）（a b-3）．
评注：本题可能会经历尝试按公因式分组而宣告失败．
5．同时按公因式和公式分组
尝试把有公因式的项和能用公式法的项分别划为一组．
例5 分解因式：x^2 ax-y^2 ay．
分析与解：第一、三项能用平方差公式分解，第二、四项有公因式a，尝试把它们分别划为一组，得
原式=（x^2-y^2） （ax-ay）
=（x y）（x-y） a（x-y）
=（x-y）（x y a）．
评注：本题可能会经历尝试按公因式分组而宣告失败．
6．同时按十字相乘法和公因式分组
尝试把能用十字相乘法分解的项和有公因式的项分别划为一组．
例6 分解因式：x^2-3xy 2xz-4yz 2y^2．
分析与解：第一、二、五项能用十字相乘法分解，第三、四项有公因式2z，尝试把它们分别划为一组，得
原式=（x^2-3xy 2y^2） （2xz-4yz）
=（x-y）（x-2y） 2z（x-2y）
=（x-2y）（x-y 2z）．
评注：因式分解的成功，有时需要经历多次尝试的失败后才获得．
7．按次数分组
尝试把次数相同的项划为一组．
例7 分解因式：a^2-4ab 4b^2 3a-6b 2．
分析与解：第一、二、三项的次数都是2，第四、五项的次数都是1，第六项为常数项，尝试把它们分别划为一组，得
原式=（a^2-4ab 4b^2） （3a-6b） 2
=（a-2b）^2 3（a-2b） 2
=（a-2b 1）（a-2b 2）．
评注：分组不是目的，而是一种过程，一种手段．
8．按主元指数分组
选择某个字母为主元，尝试把含该字母相同指数的项分别划为一组．
例8 分解因式：a^2c-b^2c ac^2 bc^2 a^2-ab-2b^2．
分析与解：把c作为主元，第三、四项c的指数都是2，第一、二项c的指数都是1，其他三项不含c，把它们分别划为一组，得
原式=（ac^2 bc^2） （a^2c-b^2c） （a^2-ab-2b^2）
=（a b）c^2 （a^2-b^2）c （a^2-ab-2b^2）
=（a b）c^2 （a b）（a-b）c （a b）（a-2b）
=（a b）（c^2 ac-bc a-2b）．
评注：按主元分组事实上是把多项式按某个字母进行降幂排列．
9．按单元分组
尝试把只含同一字母的项和常数项划为一组．
例9 分解因式：x^2-2xy-3y^2 3x-5y 2．
分析与解：只含字母x的项有第一、四项，把它们连同常数2划为一组；只含y的项有第三、五项，把它们连同常数2划为一组，得
原式=（x^2 3x 2） （-3y^2-5y 2）-2xy-2
=（x 1）（x 2）-（3y-1）（y 2）-2xy-2
=（x 1）（x 2） （-3y 1）（y 2）-2xy-2
=（x-3y 1）（x y 2）．
评注：这种针对一般的二元二次五项式的因式分解的方法，其步骤是：
第一，把不含y的项分成一组后并分解，得x^2 3x 2=（x 1）（x 2）；
第二，把不含x的项分成一组后并分解，得-3y^2-5y 2=-（3y^2 5y-2）=-（3y-1）(y 2)
第三，调整因式的符号，使前后两组因式中的常数项相同，即把-（3y-1）（y 2）化为（-3y 1）（y 2）；
第四，把前后常数项相同的因式分别“合并”（常数项只写一个），得新因式（x-3y 1）（x y 2）；
第五，检验新因式乘积的交叉项（含xy的项）是否等于原式中的交叉项-2xy？经检验正确无误；
第六，新因式就是原式的分解．即，原式=（x-3y 1）（x y 2）．
10．先计算后分组
顾名思义，先进行计算、化简，然后尝试按上述思路分组．
例10 分解因式：（ax b）^2 （bx-a）^2．
分析与解：原式经过计算，得a^2x^2 b^2 b^2x^2 a^2，尝试按a^2和b^2分组，得
原式=a^2x^2 2abx b^2 b^2x^2-2abx a^2
= a^2x^2 b^2 b^2x^2 a^2
=（a^2x^2 a^2） （b^2 b^2x^2）
=a^2（x^2 1） b^2（x^2 1）
=（x^2 1）（a^2 b^2）．
11．先添项后分组
对原式添加某个项，再尝试用上述方法分组．
例11 分解因式：x^4 4．
分析与解：原式只有两项，谈不上什么分组，为了能分组，应加减某一项．从这两项的特征，联想到完全平方公式，如果添上4x^2这项后可运用完全平方公式分解．故
原式=x^4 4x^2 4-4x^2
=（x^4 4x^2 4）-4x^2
=（x^2 2）^2-（2x）^2
=（x^2 2x 2）（x^2-2x 2）．
评注：添项要根据原多项式的特征，不可盲目．
12．先拆项后分组
把某一项拆为两项后再尝试上述方法分组．
例12 分解因式：x^3-2x 1．
分析与解：把-2x拆为―x―x，然后分组，得
原式=x^3-x-x 1
=（x^3-x） （-x 1）
=x（x 1）（x-1）-（x-1）
=（x-1）[x（x 1）-1]
=（x-1）（x^2 x-1）．
评注：添项和拆项是相对的，本题也可以添上x^2项．
13．先换元后分组
把某些部分集中起来作为整体进行换元,然后再尝试用上述方法分组．
例13 分解因式：（x y-2）（x y-2xy） （xy-1）^2．
分析与解：设x y=a，xy=b，则
原式=（a-2）（a-2b） （b-1）^2
=a^2-2ab-2a 4b b^2-2b 1
=（a^2-2ab b^2）-2（a-b） 1
=（a-b）^2-2（a-b） 1
=（a-b-1）^2
=（x y-xy-1）^2
=[（1-x）（y-1）] ^2
=（1-x）^2（y-1）^2．
评注：换元可以简化多项式，使多项式的特征及各部分之间的关系明朗化．
14．先分组后换元
对于ABCD m（A、B、C、D为多项式，m为常数）的分解，先尝试把A、B、C、D分组相乘，使所得的两个积因式有相同的项，然后再考虑换元．
例14 分解因式：（x-1）（x 1）（x 2）（x 4） 5.
分析与解：（x-1）与（x 4）的积，（x 1）与（x 2）的积，它们具有相同的二次项和一次项，因此，尝试把它们分组计算．
原式=[（x-1）（x 4）][（x 1）（x 2）] 5
=（x^2 3x-4）（x^2 3x 2） 5
设x^2 3x=y，则
原式=（y-4）（y 2） 5
=y^2-2y-8 5
=y^2-2y-3
=（y-3）（y 1）
=（x^2 3x-3）（x^2 3x 1）．
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