1.定义在R上的函数f(X)，如果满足f(2a一X) f(X)=0，f(2b一X) f(X)=0(a≠b)，那么f(Ⅹ)的一个周期为T=2la一b丨;
2.若函数f(x)的图象同时关于点A(a，c)和点B(b，C)(a≠b)成中心对称，则f(X)的一个周期为T=2丨a一b|;
3.若函数f(x)的图像关于点A(a，c)成中心对称又关于直线X=b成轴对称(a≠b)，则f(X)的一个周期为T=4|a一b|。
题型一：从两个对称中心中挖掘出隐含的周期性。
例：奇函数f(X)的图像关于点(1，0)对称。且f(3)=2，则f(1)=()
[思路探寻]：图象有两个对称中心，隐含函数的周期性。
奇函数〈=〉f(一X)=一f(Ⅹ)，
关于(1，0)对称〈=〉f(2 Ⅹ) f(一X)=0
所以f(Ⅹ 2)=f(Ⅹ)，故f(1)=f(3)=2
秒杀(特值法)：因为f(x)的图像关于点(1，0)对称，所以f(3) f(一1)=0，因为f(x)为奇函数，所以f(一1)=一f(1)，所以f(1)=f(3)=2。
[同步跟综]：
定义在R上的函数f(x)满足
则(2019)的值为()。
题型二、由两条对称轴挖掘出隐含条件周期性。
例：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(X 2)=f(2一X)，当X∈[一2，0]时，f(X)=(√2/2)^x一1。若在区间(一2，6)内，函数g(X)=f(X)一I0ga(X 2)(a>0，且a≠1)有且只有4个不同的零点，则实数a的取值范围是()
[思路探寻]：
因为f(X 2)=f(2一X)。所以f(x)的图像关于直线X=2对称。因为f(X)是偶函数，所以图象关于y轴对称，f(一X)=f(X)，f(X)=f(4一X)，所以f(4一X)=f(一X)即f(X 4)=f(Ⅹ)。挖掘出隐含条件周期性。
在区间(一2，6)内，函数g(X)=f(X)一|0ga(X 2)(a>0且a≠1)有且只有4个不同的零点。等价转化为关于x的方程f(X)=|oga(x 2)(a>0且a≠1)。有且只有4个不同的根。等价转化为f(x)的图像与h(X)=|0ga(X 2)图像交点的个数是4。画出两个函数的图象。
[同步跟踪]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数。且对任意的x∈R，f(X 2)=f(×)，当0≤Ⅹ≤1时，f(X)=Ⅹ²，若直线y=X a与函数f(X)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()。
题型三：一个对称中心一条对称轴挖掘隐含周期性
例：已知f(X)是定义在R上的偶函数，g(Ⅹ)是R上的奇函数。又知①f(3)=a(a是常数)，②g(X)=f(X一1)，试求f(2019)。
[思路探寻]：
f(X)是偶函数〈=〉f(一Ⅹ)=f(X)，
g(X)是奇函数〈=〉f(一X一1)=一f(Ⅹ一1)
=〉f(X 4)=f(X)，
f(2019)=f(504x4 3)=f(3)=a。
[同步跟踪]：
已知f(x)是定义域为(一∞， ∞)的奇函数，满足f(1一X)=f(1 X)。若f(1)=2，则f(1) f(2) f(3) …f(50)=()
参考答案：2
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