导读

本文介绍了渐开线直齿圆柱齿轮的基本知识,以及利用creo 绘制齿轮三维模型的详细过程。其中重点介绍了绘制齿轮轮廓线的两种不同方法。

一、基本概念

1、渐开线:当一圆周沿一直线作纯滚动时,此圆周上任一点的轨迹即称为该圆的渐开线,该圆称为渐开线的基圆,而该直线则称为发生线。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(1)

图1齿轮压力解析图

如图1:AK — 渐开线

rb — 基圆

n-n — 发生线

θK —渐开线AK段的展角

2、渐开线齿轮:用渐开线作为齿廓的齿轮称为渐开线齿轮。渐开线齿轮能保持恒定的传动比。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(2)

渐开线齿轮

3、压力角:一对共轭齿廓在一点处啮合时,齿廓在该点处所受正压力的方向(即法线方向)与该点的速度方向所夹的锐角。

根据定义,渐开线上任一点法向压力的方向线(即渐开线在该点的法线KN)和该点速度方向(垂直于OK)之间的夹角即为该点的压力角。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(3)

图2 压力角解析图

如图2:αk即为渐开线上K点的压力角。

由图可知:cos(αk) = ON / OK = rb / rk

以上为渐开线上某点的压力角,通常所指的压力角20 度、25度指的是齿轮分度圆与渐开线交点处点的压力角。(此知识点重要,后面介绍会用到)

4、模数:是指相邻两轮齿同侧齿廓间的齿距t与圆周率π的比值,即m = t/π,以毫米为单位。模数是模数制轮齿的一个最基本参数。模数越大,轮齿越高也越厚,如果齿轮的齿数一定,则轮的径向尺寸也越大。

三、渐开线齿轮的绘制

1、绘制前的准备

齿轮的基本参数

通过excel表格来列表,并利用公式来进行自动计算

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(4)

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(5)

图3 齿轮各参数解析图

绘制渐开线齿轮的关键是绘制渐开线。

渐开线曲线方程:

rb = db/2

theta = 60*t

x = rb *cos(theta) pi* rb *theta/180*sin(theta)

y = rb *sin(theta) - pi* rb *theta/180*cos(theta)

z = 0

rb — 基圆半径;

theta — 圆周沿直线作纯滚动所转动的角度;

x、 y、 z — 渐开线上任意一点的坐标。

我们对该曲线方程进行分析说明

“theta = 60*t”,t为creo 的基本参数,范围可设定。“60”是用来设置渐开线的长度,我们绘制齿轮时只用到了渐开线的一段,当t设置为0~1时,意味着我们截取了圆周(基圆)沿直线从0转动到60度时该圆周上某一点的轨迹。可自行设置,曲线长度超过齿顶圆即可。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(6)

为了便于理解方程,我们通过建立数学模型,理解和推导渐开线曲线方程。如下图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(7)

图4 渐开线曲线方程数学模型

如图:∠AON为 theta(基圆上任意一点转动的角度)

在直角三角形OBN中

ON = rb, OB = rb * cos(theta), NB = rb * sin(theta)

根据渐开线的定义,KN与基圆相切,KN⊥ON, 所以,∠CNB = ∠NOB = theta

KN = AN的弧长 = pi * rb * theta / 180

在直角三角形NCK中

NC = NK * cos(theta) = pi * rb * theta/180 * cos(theta)

KC = NK * sin(theta) = rb * sin(theta)

由此:

Kx = OB KC = rb * cos(theta) pi * rb * theta/180 * cos(theta)

Ky = NB - NC = rb * sin(theta)- rb * sin(theta)

注意: 式中 pi表示圆周率,实际运用时,在creo方程中可直接使用,在excel 中用函数PI()来代替。在代入theta的值时,在creo中,输入值为角度值,但利用excel或计算器运算时要注意将三角函数括弧内的角度值转化为弧度值。

至此,渐开线方程推导完毕。

2、利用creo2.0绘制齿轮

打开creo 2.0 绘制草图,四个圆分别为齿根圆、基圆、节圆和齿顶圆,直径分别按齿轮参数excel表中的值进行设定。如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(8)

3、绘制渐开线曲线

点击菜单栏中 基准 - 曲线 - 来自方程的曲线,如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(9)

出现功能菜单,如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(10)

选择笛卡尔坐标系,点击“参考” ,选择坐标系。如图:功能菜单。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(11)

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(12)

点击“方程”,在方程浮动对话框中输入方程,再点击“确定”如图。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(13)

至此绘制出一条渐开线曲线,如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(14)

4、绘制齿根圆圆柱体

点击“草图”,选择 “TOP”基准面(与前面绘制草图为同一基准面),点击“草绘”,

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(15)

点击“投影”,点选齿根圆线(最小的圆),点击“确定”

点击“模型”-“拉伸”,点选刚刚绘制的草图,拉伸厚度(即齿轮厚度)设定为10,点击“确定”

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(16)

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(17)

5、绘制齿轮的轮齿

我们前面已经绘制了一条渐开线曲线,另一条齿廓线分别介绍两种方法。

方法一、在草图中,通过镜像的方法来实现。

方法二、直接利用绘制曲线的方式来实现。

先来介绍方法一

此方法是利用对称的中心线镜像来绘制草图。如图,OM为对称线。

角度MOK1根据齿轮在圆周内均布的特性,很容易得到:∠MOK = 360/z/4。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(18)

新建草图,点选草图平面,点击“投影”,分别复制齿根圆、齿顶圆及渐开线曲线,

绘制齿根轮廓与齿根圆的过度圆弧,并将齿廓线补充完整,

绘制中心线OM,标注∠MOK,并将角度值修改为前面计算所得的结果。

选择刚完成的草图,点击镜像,得到轮齿另一侧的齿廓线。

修正完善齿廓线,保存并退出草图。(修正完成无误后,齿廓线所包围的区域变为橘黄色)

点击拉伸,点选齿廓线草图,选择到一面,点选前面已绘制完成的基因圆柱体的面。

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点击“完成”,一个轮齿的模型建立完成。如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(20)

通过阵列即可完成其它各齿。阵列时,选择轴阵列的方式,选择齿根圆圆柱体的轴线,阵列数为齿轮的齿数,选择在360度均布。如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(21)

补充说明:轮齿端部两侧的倒角可在阵列前先完成,可与轮齿一起完成阵列。

再增加齿轮孔、键槽及各部分倒角等即可完成。(具体步骤省略)如图:

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(22)

接下来介绍方法二

前面介绍到方法一是在绘制齿廓线草图时,另一侧通过以中心线镜像的方式来实现的。是否可以通过creo中绘制曲线的方法将另一条齿廓线直接绘制出来呢?

我们先来改变坐标系的方向,看看会出现什么结果。

点击模型菜单中“坐标系”,插入坐标系,按以下方式调整坐标系:X,Y与原坐标系方向一致,Z方向与原坐标系方向相反。如图:(蓝色显示为新插入的坐标系)

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(23)

同样的方法绘制曲线,插入曲线,坐标系选用新插入的坐标系,曲线方程与前面完全一样。完成后的结果,如图:绿色部分即为新插入的曲线。

直齿圆柱齿轮设计计算公式(渐开线直齿圆柱齿轮计算与三维模型绘制)(24)

从图中可以看出新绘制的曲线与原来的曲线完全对称。

我们再试图改变坐标系的角度,看有什么结果。

在模型树中,鼠标右键点选坐标系,再点选“编辑定义”,出现“坐标系”浮动对话框,点击“方向”,点选“添加绕第一个轴的旋转”,输入角度10,如图:

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点击“确定“,如图:

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从图中可以看出,曲线的起始位置沿逆时针方向发生了偏移。

由此,我们得出结论:通过改变坐标系的方向和角度,可以相应改变曲线的方向和起始点(始终在坐标系的X轴上)的位置。

至此,已经很接近我们想要的结果了,但具体偏移多少才能准确绘制出准确的齿廓线呢?

同样,我们通过建立数学模型进行分析。

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图5 齿廓线分析数学模型

如图,A点为原渐开线曲线的起点,B点为新渐开线曲线的起点。A点与B点对称于OM。我们只要分析得到OM的位置即∠MOA即可。

在直角三角形KNO中,

∠KON = 20度,

KN = ON * tan(∠KON) = rb * tan(∠KON),

由渐开线的定义:AN的弧长 = NK,

可以得到弧AN所对应的角度NOA的值: ∠NOA = KN * 360 / (2 * pi * rb)

由此可以得到:∠KOA = ∠NOA - ∠KON

∠MOA = ∠MOK ∠KOA

= 360/z/4 rb * tan(∠KON) * 360/(2 * pi * rb) - ∠KON

为了计算方便,我们利用excel建立如下计算表格:

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重新编辑坐标系,如图,将角度改为12.298,点击确定,即可得到新的渐开线曲线(即轮齿另一侧的齿廓线)。

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草图绘制,通过“投影”,再补充、修剪得到完整的齿形截面,拉伸即可得到一个齿的三维模型。

至此,绘制齿廓线的第二种方法介绍完毕。

结语:通过本文学习和实际对照操作,可以进一步熟悉creo的绘图技巧;通过建立数学模型来进行分析,来理解和推导渐开线方程,了解通过改变坐标系来改变曲线的方向和位置;通过excel表,来完成复杂的计算过程,方便参数修改,快速得到新的模型。

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