A QUARK
扯闲篇儿
上周我们讲了皮亚诺公理，这周继续讲讲加法交换律
数学归纳法
数学归纳法就是皮亚诺第五公理，它是这么写的
公理5：假定P(n)是自然数的一个性质，如果P(0)是对的，且假定P(n)是正确的，则P(n')也是真的，那么命题对所有自然数都为真。
为什么可以这么说呢，根据前几个公理，自然数是以0为起点，一个接一个的。如果假定n有某个性质时，可证n'也有此性质。能证明0有这个性质，那么就可以证明0'也有此性质，0''也有，0'''也有，就能证明所以自然数都有这一性质。
2
开始证明之前，回顾一下我们对于加法的定义：
定义加法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数m，0 m = m
2. 对于任意自然数m和n，n' m = (n m)'
与大上周一样，
这次的证明也分
一，证明：
对自然数m，m 0=m
已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我们还并不知道加法交换律。我们可以用数学归纳
∵0 m=m；0是自然数
∴0 0=0
现假定n 0=n
根据加法定义
n' 0=（n 0）'=n'
∴对任意自然数m，均有m 0=m
证毕
二，证明：
对任意自然数n和m，n m'=（n m）'
依然用数学归纳法
对n进行归纳，当n=0时
根据加法定义
0 m'=（0 m）'
假定n m'=（n m）'，
求证n' m'=（n' m）'
根据加法定义
n' m'=(n m')'=[（n m）']'
（n' m）'=[（n m）']'
∴n' m'=（n' m）'
证毕
三，证明：
对任意自然数n和m，n m=m n
对n进行归纳，
首先考虑当n=0时，
0 m=m，m 0=m
∴0 m=m 0成立，
假设n m=m n成立
求证：（n'） m=m （n'）
∵n m=m n
（假设）
∴（m n）‘=（n m）’
（皮亚诺公理4）
∵n‘ m=（n m）’
(加法定义)
m n‘=（m n）’
（证明2）
∴n‘ m=m n’
∴对任意自然数n、m，均有n m=m n
证毕
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