找出数列的排列规律（二）
这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法，解决数学问题
（一）例题指导例1. 如果按一定规律排出的加法算式是3 4，5 9，7 14，9 19，11 24，……，那么第10个算式是（ ） （ ）；第80个算式中两个数的和是多少？
分析与解：
第一个加数如下排列：3，5，7，9，11……，这是一个等差数列，公差是2，第二个加数排列如下：4，9，14，19，24，……，这也是一个等差数列，公差是5。
根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数。
所以第10个算式是21 49。
要求第80个算式的和，只要求出第80个算式的两个加数，再相加即可，当然也可以找一找和的规律。
想一想：第几个加法算式中两个数的和是707？
例2. 有一列数：1，2，3，5，8，13，……，这列数中的第200个数是奇数还是偶数？
分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇还是偶，必须找出这列数中奇、偶数的排列规律。
不难看出，这列数是按照“奇偶奇”的顺序循环重复排列的，即每过3个数循环一次。那么到第200个数一次循环了66次还余2。这说明到第200个数时，已做了66次“奇偶奇”的循环，还余下2个数。也就是说余下的两个数依次为“奇偶”，所以第200个数是偶数。
例3. 下面的算式是按某种规律排列的：1 1，2 3，3 5，4 7，1 9，2 11，3 13，4 15，1 17，……
问：（1）第1998个算式是（ ） （ ）；
（2）第（ ）个算式的和是2000。
分析与解：
（1）第1个加数依次为1、2、3、4，1、2、3、4……每4个数循环一次，重复出现。1998÷4=499·······2，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11……是公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为1 （1998-1）x2=3995，所以第1998个算式是2 3995。
（2）由于每个算式的第二个加数都是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有1 x=2000或3 x=2000。其中x是1、3、5、7、9……中的某个数。
若1 x=2000，则x=1999。根据等差数列的项数公式得：（1999-1）÷2 1=1000，这说明1999是数列1、3、5、7、9……中的第1000个数，因为1000÷4=250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设1 x=2000矛盾，所以x≠1999；
若3 x=2000，则x=1997。与上同理，（1997-1）÷2 1=999，说明1997是等差数列1、3、5、7、9……中的第999个数，由于999÷4=249···3，说明第999个算式的第一个加数是3，所以，第999个算式为3 1997=2000。
例4. 将1到200的自然数，分成A、B、C三组：
A组：1 6 7 12 13 18……
B组：2 5 8 11 14 17……
C组：3 4 9 10 15 16……
根据分组的规律，请回答：
（1）B组中一共有（ ）个自然数；
（2）A组中第24个数是（ ）；
（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。
分析与解：（1）B组中的数成等差数列，其首项是2，公差是3，从整个数表看，竖着数是每3个数一组，因为200÷3=66····2，所以200是B组中的最后一个数，根据等差数列的项数公式。（200-2）÷3 1=67。所以，B组中一共有67个自然数。
（2）观察A组中数的排列规律，由于24是偶数，所以应特别注意偶数位置上的数的排列规律。第几个数就是3的几倍，第24个数就是3的24倍，所以A组第24个数是。
（3）观察A、B、C三组数（竖看），每2列为一组（6个数），……4，说明重复29次，还剩下4个数，这4个数重新排列一下可知，178排在C组。每一组含有C组的2个数。最后余下的4个数，在C组又排了2个，所以178在C组中是第个数。
［答题时间：40分钟］
（二）尝试体验1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。
○●○○○●○○○●○○○……
2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。
3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（ ）色灯。
4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4 2，5 8，6 14，7 20……，那么，第100个算式的得数是（ ）。
5. 找规律，按规律填数。
6. 自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？
【试题答案】
1. 如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（ ）颜色的，这种颜色的珠子共有（ ）个。
○●○○○●○○○●○○○……
除去第一个珠子，剩下的（102-1=）101颗珠子是按照“一黑三白”的次序循环重复的。
说明循环了25次后还多出一个黑珠子，所以最后一个珠子是黑色的，黑色的珠子共有26个。
2. 有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（ ）色，第140张是（ ）色。
这是按“5红3白4黑”循环排列的，它的循环周期是12。
所以最后一张是红色，第140张是白色。
3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（ ）色灯。
把排列的顺序写出来是：白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、……是按“白、红、黄、绿”循环排列的。
所以第73盏灯一定是白色的。
4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4 2，5 8，6 14，7 20……，那么，第100个算式的得数是（ ）。
第一个加数这样排列：4，5，6，7，……（公差是1的等差数列）
第二个加数这样排列：2，8，14，20，……（公差是6的等差数列）
根据等差数列的通项公式得：
所以，第100个算式的得数是103 596=699
5. 找规律，按规律填数。
第一个等号前的两个因数是两个相邻的奇数，第二个等号后面的因数介于前面两个奇数之间。如第3式：5和7之间只有一个自然数（6）。除此之外，第一个等式的第一个因数是一个公差为2的等差数列（1，3，5，7……）
根据以上规律可得：
第60式中未知数较多，只要求出第一个等号前的第一个因数就好填了。
根据等差数列的通项公式可得：1 （60-1）×2=119
所以第60式为：（119）×（121） 1=（14400）=（120）×（120）
6. 自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？
第一行1个数，第二行2个数，第3行有3个数……，第几行就有几个数，我们先求出到第九行结束一共有多少个数，然后再继续数出5个就可以了。
所以，第10行的第5个数是50。
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