65.平面直角坐标系中,正△ABC的两个顶点A(1,0),B(2,1),求顶点C的坐标.
分析
思路1 构造直角三角形,利用勾股定理,建立方程求解分别过C,B作x轴垂线,垂足分别为M,N,作CP⊥BN,垂足分别为P,则矩形CMNP,
正△ABC=>三边等且每一个内角均为60°
AN=BN=1,∠N=90°=>∠BAN=∠ABN=45°,AB=AC=BC=√2
∠CAM=∠CBP=75°,∠M=∠P=90°,AC=BC=√2=>Rt△CMA≌Rt△CPB
=>CM=CP=>正方形CMNP
设MA=PB=m,则正方形CMNP的边长=1+m,且AB=AC=BC=√2
由勾股定理得
m^2+(1+m)^2=(√2)^2
解得m=-(1+√3)/2或(-1+√3)/2
当m=-(1+√3)/2时,
1-m=(3+√3)/2,1+m=(1-√3)/2
当m=(-1+√3)/2时,
1-m=(3-√3)/2,1+m=(1+√3)/2
所以点C((3-√3)/2,(1+√3)/2)或C((3+√3)/2,(1-√3)/2)
思路2 正三角形的边长相等且为√2,利用两点间距离公式,建立方程组求解。
设C(s,t),
则AC^2=(s-1)^2+t^2=(√2)^2
BC^2=(s-2)^2+(t-1)^2=(√2)^2
联立解得s=3-√3)/2,t=(1+√3)/2或s=(3+√3)/2,t=(1-√3)/2
所以点C((3-√3)/2,(1+√3)/2)或C((3+√3)/2,(1-√3)/2)
思路3 点C是两等圆⊙A与⊙B的交点,圆的半径AB=√2,写出圆的方程求解
⊙A的方程 (x-1)^2+y^2=(√2)^2
⊙B的方程
(x-2)^2+(y-1)^2=(√2)^2
联立解得x=3-√3)/2,y=(1+√3)/2或x=(3+√3)/2,y=(1-√3)/2
所以点C((3-√3)/2,(1+√3)/2)或C((3+√3)/2,(1-√3)/2)
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