关注“中考数学当百荟”，感谢您的点赞，转发！点击“了解更多”
北师大版《数学》九上P187有一道习题：任意说出3个正数，以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗？一定能围成一个钝角三角形吗？请设计一个试验估计围成一个钝角三角形的概率.一.以任意3个正数a＜b＜c为边长，围成钝角三角形的条件是什么？3个正数为边长围成三角形的条件：a＋b＞c，这是大家都知道的，但是要围成钝角三角形则啊a，b，c满足什么条件呢？让我们先回顾围成直角三角形的条件：a^2＋b^2=c^2，此时，c边所对的角最大且为直角。
显然当a^2＋b^2≠c^2时，c边所对的角最大，但非直角！
追问一句，此时，不是直角是什么角？
——锐角或钝角。
——好的！从角的分类来说只有三种情况：锐角、直角、钝角。排除一种（直角），当然还有两种可能。那么a^2＋b^2与c^2，其值的也有三种情况：小于、等于、大于。排除一种（相等），势必也有两种可能：小于或大于。
自然联想到它们之间的达成某种默契：
结论
以任意三个正数0＜a＜b＜c为边长，围成钝角三角形的条件：a＋b＞c，a^2＋b^2＜c^2.
二.换一个角度再解读围成钝角三角形的条件：a＋b＞c，a^2＋b^2＜c^2.弄清楚围成钝角三角形的条件后，我们是不是迫不及待地进行试验啦？
当然是可以的，不过可以预见试验的效度、信度肯定不高。没有更好的办法呢？让我们继续探究下去，或许可以找到更好的办法。
围成钝角三角形的条件：a＋b＞c，a^2＋b^2＜c^2.
将这两个不等式进一步变形（右边都变成“1”）得
a/c＋b/c＞1，（a/c）^2＋（a/c）^2＜1
设x= a/c，y= b/c，则有x＋y＞1，x^2＋y ^2＜1，其中0＜x＜1，0＜y＜1.
让我们从函数的角度，再来解读围成钝角三角形的条件：
x＋y＞1的含义：x＋y=1表示直线y=－x＋1上所有点，若x＋y≠1，则表示直线外的所有点，这个描述显然还不够“精细”，自然想到x＋y≠1，意味着x＋y＜1或x＋y＞1，其含义必然对应着直线的下方与下方（的所有点组成的区域）.
类比联想
x^2＋y ^2＜1，x^2＋y ^2=1（圆心在坐标原点，半径为1的圆），x^2＋y ^2＞1，也有类似的含义（见下表）.
解读围成钝角三角形的条件：x＋y＞1，x^2＋y ^2＜1，其中0＜x＜1，0＜y＜1的含义：
直角坐标平面内，0＜x＜1，0＜y＜1，即正方形区域（0,0）（1,0），（1,0）（1,1）的内部（不包括边界）；x＋y＞1，即直线y=－x＋1的上方；x^2＋y ^2＜1，即圆心在原点，半径为1的圆形区域内部。所以围成钝角三角形的条件就与这三个区域的公共区域内（如图所示的弓形区域，不包括边界）的随机点的横、纵坐标相关（即以该区域内任一点的横坐标= a/c，纵坐标= b/c）。
画一个边长为1的正方形，再以一个顶点为圆心，边长为半径画弧（1/4圆周），并连结弧的两端（正方形的一条对角线）向这个正方形内随机投掷骰子，分别统计投掷骰子落在正方形区域的次数m， 骰子落在弓形区域的次数n，计算出骰子落在弓形区域的频率n/m，按统计（用频率估计概率）原理，这个频率n/m就是以任意3个正数为边长围成钝角三角形的概率.
用电脑模拟这个试验，试验结果（如图）
1.从以任意三个正数为边长围成三角形、钝角三角形的概率问题转化到向一正方形区域掷骰子问题，这个思维跨度是非常大的，对学生来说不亚于一次时空穿越，带给他们感受是非常震撼的。从看问题的视角来说，除了对二元二次方程x^2＋y ^2=1表示圆陌生外（在耐心引导下，部分学生还是能够感受到），其他一元一次、二元一次不等式的几何意义（表示平面区域）能够自主总结出来，从而从数、式、形三个层面，给他们提供了如何看待函数、方程、不等式的全方位视角。
2.从思考问题的方法来看，引申、转化、化归、类比、对应、整体、统计思想这些方法的综合运用，对培养和发展学生分析问题、解决问题的能力，本问题也是难得的教学素材。
3.还有对统计思想、统计方法的渗透。在这个问题中，骰子落在弓形区域的概率P（弓形）是可以计算的，这个概率为（π－2）/4≈0.2854，它与圆周率有关，因而可以利用试验所得（骰子落在弓形区域的）频率来代替概率，从而测得圆周率PI的值（PI=4 P（弓形）＋2），这种“计算”圆周率的方法，对初中学段的学生来说，简直不可思议！是万万想不到的。与祖冲之割圆术计算圆周率，从思想方法到技术存在巨大反差，对学生而言，也是突破传统思维，发展创新思维的鲜活案例。这种试验方法统计学上，称之为蒙特卡罗方法。它被广泛运用于科学研究、军事、金融、公用事业等诸多领域。
关注“中考数学当百荟”，感谢您的点赞，转发！点击“了解更多”
,
