作者:《升华洞察》冯升华
我拿出四个牙签,问小朋友,你能拼出的最大数字是多少?
第一次拼出来的是88。
只有两位数。。。你一定不服气,能够拼出来比88大的数字。。。
竖起来就多了啊!
接下来拼出了1111。
你拼的比这个大吗?我还能拼出来更大的呢!
都说中文更有效,我可以拼一个"万"字!
10000还不够大呢,你说是不是?
你能拼多大?
我想到了乘方!是不是1111要大很多?
11^11=285,311,670,611=2.85312E 11
你在想什么鬼主意?要超越!超越啊!
电脑知识都用上了!
11T,有KB、MB、GB、TB,1T是多少啊?
1T字节=1024GB=1024*1024MB=1024*1024*1024KB=1,099,511,627,776。翻译成中国话是一万亿了。
11T=12,094,627,905,536
当然,比TB大的还有哪些呢?
1KB(Kilobyte 千字节) = 2^10 B = 1024 B;
1MB(Megabyte 兆字节) = 2^10 KB = 1024 KB = 2^20 B;
1GB(Gigabyte 吉字节) = 2^10 MB = 1024 MB = 2^30 B;
1TB(Trillionbyte 太字节) = 2^10 GB = 1024 GB = 2^40 B;
1PB(Petabyte 拍字节) = 2^10 TB = 1024 TB = 2^50 B;
1EB(Exabyte 艾字节) = 2^10 PB = 1024 PB = 2^60 B;
1ZB(Zettabyte 泽字节) = 2^10 EB = 1024 EB = 2^70 B;
1YB(YottaByte 尧字节) = 2^10 ZB = 1024 ZB = 2^80 B;
1BB(Brontobyte ) = 2^10 YB = 1024 YB = 2^90 B;
1NB(NonaByte ) = 2^10 BB = 1024 BB = 2^100 B;
1DB(DoggaByte) = 2^10 NB = 1024 NB = 2^110 B;
你肯定马上就想到下一个啦。
T^T.这是一个多大的数字啊?
10995116277761099511627776。。。这是一个很大的数字了。
这个数字究竟有多大?
我们先看看其它的有名的大数字。
古戈尔(googol)是指1后有100个0,可以表示为:10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。这是美国数学家爱德华·卡斯纳的侄子米尔顿·西罗蒂造出古戈尔一词,卡斯纳其派生出古戈尔普勒克斯googolplex一词。
因为古戈尔比已知宇宙中基本粒子数目要多(后者估计在10^72到10^87之间),而古戈尔普勒克斯的零的数目为古戈尔,所以要把古戈尔普勒克斯googolplex以十进制写出来或存入档案都是不可能的。
以另一角度看,假设要把古戈尔普勒克斯要小得看不到的1点字型印出。TeX排版系统的1点字型一个数字占0.3514598毫米,整个数需要米。已知宇宙的直径是米。所以整个数的长度是宇宙直径的倍。所需要的时间也是长得不可能的:要是一秒钟写2个数字,写出古戈尔普勒克斯的时间是宇宙年龄的1.1×10^82倍。
T^T应该是介于两个数字之间的数字。也就是:
googol < T^T < googolplex
佛祖也思考过大数,下面是他老人家的想象力:
万:代表的是10的四次方;
亿:代表的是10的八次方;
兆:代表的是10的十二次方;
京:代表的是10的十六次方;
垓:代表的是10的二十次方;
杼:代表的是10的二十四次方;
穰:代表的是10的二十八次方;
沟:代表的是10的三十二次方;
涧:代表的是10的三十六次方;
正:代表的是10的四十次方;
载:代表的是10的四十四次方;
极:代表的是10的四十八次方;
恒河沙:代表的是10的五十二次方;
阿僧祗:代表的是10的五十六次方;
那由它:代表的是10的六十次方;
不可思议:代表的是10的六十四次方;
无量:代表的是10的六十八次方;
大数:代表的是10的七十二次方;
频波罗:代表的是10 的56次方;
矜羯罗:代表的是10 的112次方;
不可说不可说转:代表的是10 的7 × 2^122次方。
葛立恒数,被视为现在正式数学证明中出现过最大的数。它大得连科学记数法也不够用。
葛立恒数是在吉尼斯世界纪录中世界最大的「有意义」的自然数。
葛立恒(Ronald Graham,1935年10月31日-,生于加州托夫特),数学家,在排程理论、拉姆齐理论、计算几何学和低差异数列均有建树。其妻亦是数学家。
葛立恒数是拉姆齐理论(Ramsey theory)中一个极其异乎寻常问题的上限解,是一个难以想象的巨型数。这个问题表述为:
连接n维超立方体的每对几何顶点,获得一个有着2^n个顶点的完全图(每对顶点之间都恰连有一条边的简单图)。将该图每条边的颜色填上红色或蓝色。那么,使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色完全子图的最小n值为多少?
葛立恒数无比巨大,无法用科学记数法表示,就连a^(b^(c^(…)))这样的指数塔形式也无济于事,甚至连数学家都难以理解它。
虽然这个准确答案未知,但葛立恒数是现时所知最小的上界。
虽然这个数太大了而无法完全计算出,但葛立恒数的最后几位数可以通过简单的算法导出。其最后12位数是262464195387。
知乎上查到的:
科学领域的数字,都很小,用多重指数(多层科学计数法)就可以表达出来。
1层指数:粒子的数目。1摩尔是6×10^23,而整个可观测宇宙范围内的质子数则是136×2^256(约为1.575×10^79。这个奇怪的表达式是Arthur Eddington给出的),光子数是1.1×10^89,而所有的基本粒子的数目则约为10^97。
2层指数:粒子的排列。只需要很少的几个粒子,它们的排列数就已经可以超过宇宙中所有基本粒子的数目了。比如6阶魔方的状态数是1.57153×10^116。"微观状态数"就是这样一种排列的概念,而且参与排列的粒子数目更大。整个可观测宇宙的熵大约是10^120,这意味着微观状态数大概是10^10^120。
3层指数:庞加莱回归时间。
现实世界实在是太小太小了。如果你踏入数学领域,那么你将看到更加巨大的数字。这些"更加巨大的数字",可以分成3类。
第一类,最小的,是可定义、可计算的数,或者能被这样的数限制住的数。
第二类,更大的,是可定义、不可计算的数,或者能被可定义的数限制住,却没有算法可以计算的数。
第三类,最大的,则是不可定义的数。
Moser数、Graham数、Goodstein数列、TREE(3)、SCG(3)、燃烧数(fusible number)
给你们足够过的能够燃烧的绳子,已知每根绳子烧完需要1分钟,但是绳子不均匀,所以你没有办法在绳子燃烧的中途判断时间。那么你将如何测量出45秒?
Loader数:如果仅仅给你们512个字符(不计空白)的空间,编出一段程序,在一台假想的、有着足够大的内存的计算机上,运行足够长的时间,你最多能让它输出多大的数呢?乍一看,512个字符少之又少,甚至根本难以把像TREE函数、SCG函数那样的东西定义出来,然而Ralph Loader却写出了下面这段C语言代码,输出一个疯狂的大数——Loader数。
Busy beaver:在所有n状态、2色的、能够停机的图灵机中,从开始运行(空白纸带)到停机为止写入的格子数的最大值,记作BB(n)。比BB更强大的是Ξ函数。
《大数入门》一书终结在Rayo数上。如果说busy beaver是第二类大数的大门,那么Rayo数便是第三类大数的大门。与前两类大数相比,Rayo数简直就是开挂。简单说来,Rayo数是在一阶集合论语言中用不超过10^{100}个字符能够定义出的有限的数的上确界。
最终,我们拼出了无穷大"∞"
无穷大很大吗?有没有比无穷大更大的?
阿列夫零!
先看一个关于无穷大悖论的故事
基塔:""无穷饭店"是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间,这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始,无限制地排下去。 一天,这个旅店的客房全住进了客人,这时候来了一位飞碟(不明飞行物)的驾驶员,他正要去别的星系。 尽管已经没有空房间了,可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。 第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们,老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去,空出的1到5号房就给这5对夫妇 。周末,又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。 "
赫尔曼:"我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者,可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢? "
基塔:"很容易,我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。 "
赫尔曼:"对了!这下每个房间里的人都住到双号房中,余下的所有单号房间有无穷多个,它们空出来给泡泡糖商人住!"
关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数,第三级无穷大数比这要多得多!
德国数学家乔治·康托发现了无穷大的这种等级,他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性,解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。
饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一一对应,则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。
由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集,康托称之为阿列夫1。康托的辉煌成就之一就是著名的"对角论证法",它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康托证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应,怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点;与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应,如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为"连续统的势"
阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线,我们把"曲线"取广义以包括不连续曲线,则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样,如果我们所指的曲线是在一张邮票上,或者在一个无穷空间里,或者在一个无穷超空间里的全部曲线,这一切都没有问题,仍是阿列夫2。康托还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。
当一个阿列夫数被升级为它本身的幂,则产生一个更高级的阿列夫数,它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此,阿列夫数的阶梯向上是无穷的。
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