1.何谓分形？
顾名思义，分形是对几何图形的局部细分，而这种细分可以无限进行。自然界的许多景物呈现出这种特点。例如椰菜花（图1）、肺组织（图2）。
图1. 椰菜花
图2. 肺组织
对于日常生活中的直观图形，随着分形的不断深入，图形的总周长和面积将呈现何种趋势？现以正三角形的分形为例进行探讨。
图3. 正三角形的分形图
对正三角形的各边三等分，以中间一份的长度为边长作新的正三角形。依次进行下去，对新增的正三角形各边三等分，再以中间一份的长度为边长向外“增生”新的正三角形。下面推导经过 n 次“增生”后，整个图形的周长（实线部分）和面积。
设初始正三角形的边长为a_0，周长和面积分别为p_0和A_0。显然，经过第 k 轮“增生”后，周长有增有减，且增加的部分大于减少的部分，而面积只增不减。设周长的（净）增加值为Δp_k，面积的增加值为ΔA_k（k=1，2，......，n）。
第一轮“增生”
第二轮“增生”
第 n 轮“增生”
总周长为
总面积为
随着分形的无限深入，
可见，对于这种分形方式的无限进行，总周长和总面积均趋于有限值。
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