A.重要的思维方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．
利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形：
善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：
(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；
(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．
全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等．
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
2．相似三角形周长之比等于相似比；
3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．
通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一．
熟悉以下形如"A型"、"X型""子母型"等相似三角形．
判定三角形全等的方法有SAS,ASA,AAS,SSS,所以判定两个三角形全等至少要有一边相等.判定两个三角形相似的方法有两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似,关键是要找到角相等.抓住"边定全等,角定相似"这一解题的关键,相关的题目就会迎刃而解.
B.典型热点问题
1.多解填空题
1．（2019•河南模拟）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点，△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称，连接AC，分别交EA′、EF于点M、N，AB＝2√3，AD＝2．若△EMN与△AEF相似，则AF的长为_____ ．
【解析】①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝BC/AB=√3/3，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，
∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE•tan30°＝2√3×√3/3＝2，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，可得AF＝AE•tan60°＝6，
故答案为2或6．
2．（2019•霍邱县一模）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM PN＝AC；③△POF∽△BNF；④当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点，其中一定正确的结论有 _______．（填上所有正确的序号）．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△APE和△AME中，∠BAC＝∠DAC,AE=AE, ∠AEP＝∠AEM,，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；∴PE＝EM＝1/2PM，
同理，FP＝FN＝1/2NP．
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．∴PF＝OE，∴PE PF＝OA，
又∵PE＝EM＝1/2PM，FP＝FN＝1/2NP，OA＝1/2AC，
∴PM PN＝AC，故②正确；
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故③错误；
∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM＝PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP＝BP，即P是AB的中点．故④正确．
故答案为：①②④．
2.动点探究问题
3.（2018秋•苏州期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，动点P以2cm/s的速度在△ABC的边上沿A→B的方向匀速运动，动点Q在△ABC的边上沿C→A的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，5s后，点P到达终点B，点Q立即停止运动（此时点Q尚未到达点A）．设点P运动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．
（1）图①中AC＝_____ cm，点Q运动的速度为 ______cm/s；
（2）求函数S的最大值；
（3）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？请说明理由．
【解析】（1）根据勾股定理得到AC＝8，设点Q运动的速度为v，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论,故答案为：8，1；
（2）过点P作PH⊥AQ于H，则PH∥BC，由题意得，AP＝2t，CQ＝8﹣t，
4．（2018秋•九龙坡区校级期末）已知△ABC中，AB＝AC，过点B作射线BE，过点C作射线CF，使得∠ABE＝∠ACF，且射线BE、CF交于点D，过A点作AM⊥BD于点M
（1）如图1所示，若∠CAB＝90°，求证：DM CD＝BM；
（2）如图2所示，求证：DM﹣CD＝BM；
（3）如图3，在（1）问的条件下，射线BE和线段AC交于点N，且AN＝7，AB＝11，过点A有一直线l，点P从N点出发沿N→A→B路径向终点运动，终点为B点：点Q从B点出发沿B→A→N路径向终点运动，终点为N点．点P和Q分别以每秒1个单位和3个单位的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PR⊥l于R，QS⊥l于S．设运动时间为t秒，要使以点P，R，A为顶点的三角形与以点Q，S，A为顶点的三角形全等，请直接写出t的值．
【解析】（1）作AG⊥CF于G，由AAS证明△AGC≌△AMB，得出CG＝BM，AG＝AM，∠GAC＝∠MAB，再证明四边形AGDM是正方形，得出GD＝DM，即可得出结论；
（2）作AG⊥CF于G，同（1）得：△AGC≌△AMB，得出CG＝BM，AG＝AM，再由HL证明Rt△AGD≌Rt△AMD得出DG＝DM，即可得出结论；
（3）根据题意：AP与AQ是两个直角三角形的斜边，
以点P，R，A为顶点的三角形与以点Q，S，A为顶点的三角形全等时，AP＝AQ；
分三种情况：①当点P在AN上，点Q在AB上时，如图3所示：
AP＝7﹣t，BQ＝3t，则AQ＝11﹣3t，AP＝AQ时，7﹣t＝11﹣3t，解得：t＝2；
②当点P与Q在AC边上重合时，如图4所示：AP＝7﹣t，AQ＝3t﹣11，
则7﹣t＝3t﹣11，解得：t＝4.5；
③当点P在AB边上，点Q到达N时，如图5所示：
AP＝t﹣7，AQ＝7，则t﹣7＝7，解得：t＝14；
综上所述，要使以点P，R，A为顶点的三角形与以点Q，S，A为顶点的三角形全等，t的值为2或4.5或14．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、垂直的定义、角的互余关系、辅助线作图以及分类讨论等知识；本题综合性强，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论，避免漏解．
3.层进式推理探究问题
5．（2019•瑶海区一模）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．
（1）求证：BE⊥DC；
（2）若BE＝BC．
①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求GF/BC的值．
②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）①取DE的中点H，连接GH、FH，根据三角形中位线定理得到GH∥BE，GH＝1/2BE，得到GH＝FH，GH⊥FH，根据勾股定理计算，得到GF/BC＝√2/2；
②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，证明△BAE≌△BAC，得到∠BAE＝∠BAC＝135°，证明△ODA∽△OAE，根据相似三角形的性质求出OD•OE，根据三角形的面积公式就是，得到△DOE的面积＝2．
【点悟】 (1)证明全等或相似要注意结合图形,挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、同位角、内错角以及中点、中线、角平分线等等量关系求解.
(2)证明两边相等的方法有三角形全等,等腰三角形(等腰三角形的定义或三线合一),线段的垂直平分线的性质,角平分线的性质,特殊四边形的性质,圆的有关性质,等量代换,比例线段以及计算线段的具体长度等.
(3)证明角相等的方法有运用平行线的性质,三角形全等的性质,相似三角形的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质定理及逆定理,和圆有关的角等.
6．（2019•定远县一模）已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，过点E作EF∥BC交直线AB
于点F，连接CF．
（1）如图1，点D在BC上，AB与DE交于点G，连接BE．
①求证：CF＝ED；
②求证：GE/CF=CD/BC；
（2）如图2，点D在BC的延长线上，若四边形CDEF是矩形，AC＝6，BC＝4，求AE的长．
【解析】（1）①求出∠DAC＝∠EAB，根据SAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，根据平行四边形的性质得出CF＝DE即可；
②根据平行四边形的性质得出∠FED＝∠BCF，根据相似三角形的判定得出△EFG∽△CBF，根据相似得出比例式GE/CF=CD/BC，即可得出答案；
（2）根据矩形的性质得出∠BCF＝90°，求出BF长，根据勾股定理求出CF长，求出△ABC∽△ADE，根据相似得出比例式，即可求出AE＝12√2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
4.作图探究问题
7．（2019春•南关区校级月考）画图题：
（1）如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上，按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形（要求：所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等，图②和图③中新画的三角形不全等，并写出所画图形与原图形的相似比）．
（2）在边长为1的方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．
①如图④，请你在所给的方格纸中，以O为位似中心，出一个与△ABC位似的格点△A₁B₁C₁，且△A₁B₁C₁与△ABC的位似比为2：1；
②求△A₁B₁C₁的面积．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求，
△A ₁ B ₁ C ₁与△ABC的相似比为2：1；
△A ₂ B ₂ C ₂与△ABC的相似比为√2：1．
（2）①△A ₁ B ₁ C ₁即为所求．
②△A ₁ B ₁ C ₁的面积为1/2×8×4＝16．
5.类比探究问题
8．（2018秋•莒县期末）（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．
（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如∠BDA ∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE DE．
【解析】（1）K型全等模型的基本型，通过在△ACE和△ADB中利用角的互余关系证明等角，从而证明全等；
（2）一线三角的基本型，通过△AEC和△ADB中内角和180°证明等角，从而证明全等；
（3）一线三角的变式，通过△ADB和△ACE中内角和与外角的关系证明等角，从而证明全等．
【点评】本题考查了一线三等角模型的基本型﹣﹣K型全等和变式模型的应用，主要是通过角与角之间的互余关系，互补关系，外角关系以及内角和关系来推导等角关系，是对几何证明基本功的很好检验，是一道很好的综合问题．
在几何图形题目中，根据具体条件的不同处理的方法灵活多变，经过长期的解题实战，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、寻找解题思路有很大的帮助。"一线三等角"是指在一条直线上出现了三个相等的角，这种模型在直角三角形、等腰直角三角形、正方形、矩形、等边三角形中尤其常见，也是添加辅助线的常见方法之一。
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