讨论矩阵的秩与行列式的关系（线性代数精华讲透矩阵的初等变换与矩阵的秩）

这篇文章和大家聊聊矩阵的初等变换和矩阵的秩。

矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：

假设我们要解这个方程，怎么做呢？

首先，我们把(1)式加到(2)式，把(4)式加到(3)式，把(1)式乘6加到(4)式可以得到：

我们再把(4)式减去(2)式乘5，可以解出x4=−3：

我们把x4=−3带入，可以解出x1, x2, x3。

因为消元之后，方程组的数量少于变量的数量，我们无法解出所有的变量。其中的x3可以取任何值。

上面这个计算的方法我们都非常熟悉，如果我们用一个矩阵来表示所有的次数，那么这个矩阵D可以写成：

那么，我们刚才消元的过程，其实就是对这个矩阵做初等变换。我们把这个过程总结一下，矩阵的初等变换操作包含以下三种：

1. 对调两行
2. 以数k,k≠0乘上某行的所有元素
3. 以数k,k≠0乘上某行所有元素并加到另一行
   

以上的三种都是针对行为单位的，因此上面的三种变换也称为“行变换”。同样我们也可以对列做如上的三种操作，称为“列变换”。行变换和列变换结合就是矩阵的初等变换。

同样，我们可以对D这个矩阵使用刚才我们上述的初等变换操作，将它变成如下这个结果：

它就对应方程组：

Dt矩阵是经过初等行变换的结果，我们还可以再对它进行列变换，将它变得更简单，我们只要交换第三和第三列，之后就可以通过初等列变换把第五列消除，之后它就变成了下面这个样子：

我们用数据归纳法可以很容易证明，所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换，都可以变成如下的形式：

r就是最简矩阵当中非零行的行数，它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A)

之前我们在介绍行列式的时候说过，行列式还存在多种性质。其中之一就是一个矩阵经过初等变换，它的行列式保持不变。我们又知道，如果行列式当中存在某一行或者某一列全部为0，那么它的行列式为0。

所以，我们可以得到，对于n阶矩阵A而言，如果它的秩R(A)<n，那么|A|=0。

再根据我们前文当中有关可逆矩阵的定义，可以得到，可逆矩阵的秩就等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。所以，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。

之前我们在复习行列式以及逆矩阵的时候，总觉得少了些什么，现在有了矩阵的秩的概念之后，这些知识就能串起来了。

代码计算

同样，numpy当中也继承了计算矩阵秩的工具。我们可以很轻松的用一行代码算出矩阵的秩，这样我们在判断矩阵是否可逆的时候，就不需要通过行列式来判断了。因为矩阵秩的计算要比行列式的计算快得多。

import numpy as np np.linalg.matrix_rank(a)

有了矩阵秩的概念之后，我们后续的很多内容介绍起来都方便了许多，它也是矩阵领域当中非常重要的概念之一。

线性方程组的解

我们理解了矩阵的秩的概念之后，我们现学现用，看看它在线性方程组上的应用。

我们之前在介绍行列式的时候，曾经介绍过n元n个等式的方程组的解，可以用行列式表示。但是现实当中我们遇见的方程组并不一定是n元n等式的，我们推广到一般的情况来看。假设当下有一个n元m个等式的方程组：

我们可以将它写成矩阵相乘的形式：Ax = b

我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以和方便地看出线性方程组是否有解。我们先来看结论：

1. 当R(A) < R(B)时无解
2. 当R(A) = R(B) = n时，有唯一解
3. 当R(A) = R(B) < n时，有无数解
   

证明的过程也很简单，主要就是利用矩阵秩和最简矩阵的定义。

我们假设R(A)=r，并将B矩阵化简成最简形式，假设得到的结果是：

(1) 显然，当R(A) < R(B)时，那么矩阵Bf中的dr 1 = 1，那么第r 1行对应的方程0 = 1矛盾，所以方程无解。

(2) 如果R(A) = R(B) = r = n，那么矩阵Bf中的dr 1 = 0，并且 bij都不出现，所以我们可以直接写出方程组的解：

此时，方程组有唯一解

(3) 如果R(A) = R(B) = r < n，则B中的dr 1=0，我们写出对应的解：

由于参数c1, c2, ... cn-r可以取任意值，所以方程有无数解。上面写出的解的形式即是线性方程组的通解。

齐次线性方程组

如果我们将上面的线性方程组的常数项都置为0，就称为齐次线性方程组，如下：

齐次方程组最大的特点就是当x=0时一定有解，称为方程组的零解。我们还通过增广矩阵来判断，写出来其实还是刚才一样的形式：

和非齐次线性方程组不同的是，我们可以断定dr 1=0，如此一来就不存在无解的情况。这个时候我们要判断的就是方程组是否存在非零解，我们一样通过矩阵的秩来判断，判断的条件也很简单，如果R(A) = n，则不存在非零解，如果R(A) < n，则存在无数组非零解。

我们先写出R(A) = n的情况，这时候的矩阵Bf为：

也就是说：

当R(A) < n时方程组和非齐次方程组类似，唯一不同的是可以确定di=0 (i=1, 2, ...n)，我们直接带入之前的通项公式，可以得到：

线性方程组的解的公式和计算本身其实并不重要。因为在实际的算法领域，用到的也不多。但是理解线性方程组对于理解后面的向量以及线性空间非常有帮助，文中的公式看着恐怖，但冷静下来真的去试着理解一下，会发现也就那么回事。

衷心希望大家学有收获，如果喜欢本文，请顺手给个关注吧~

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