话题：#数学# #范畴论# #层论#
小石头/编
动机：在疫情之初，小石头曾经写过十篇介绍《范畴论》的文章，并以回答的方式发表在头条，后来其中很多都被系统删除了，于是小石头又将其整理后，统一附在去年年底的年终总结中。
为了照顾大家的程度，这些文章包含的范畴论知识，是 仅仅义务教育数学水平，就可以看懂的内容。小石头当时是很想写下去的，但是剩下的内容就会涉及到深入的数学知识，这其中就包括《层论》，可是大家根本就不知道层论，所有非常遗憾，只能停笔了。
（实际上，层论本身 就是用 范畴语言 进行研究的，算是范畴论的最佳应用，在其中 大家会发现 那些原本抽象 的 范畴论 概念，对应着一个个 实际的例子，会体会到 范畴语言 的精妙之处。）
为了弥补这个遗憾，小石头决定挑战一下《层论》的科普，当然因为是科普，也只能介绍点入门知识，也就是尽量不牵扯太多深奥的数学知识，不会太过深入。
小石头，打算先用非范畴论的通俗语言，向大家介绍《层论》的入门知识（这会是本篇文章），然后再用范畴语言重新解释这些入门知识（这会是另外一篇文章）。
——§ 起 §——
映射（map）是数学中最重要研究对象之一，设 X，Y 是任意集合，则一个映射 f: X → Y 是从 定义域（domain）X 到 陪域（codomain）Y 的一种对应关系，要求：
- 每个 X 中的元素 x，在 Y 中 有且只有唯一一个元素 y 与之对应，记为 f(x) = y；
注：当 Y 是 实数 ℝ 时 ，映射 就是 我们从初中就开始接触的 函数。
关于单个映射的知识（例如：像、原像、单射、满射、双射、复合、...）想必大家都非常熟悉（这里小石头就不再累述，若不熟悉可参考 高中一年级数学课本），但是大家有没有想过许多函数放在一起作为整体的性质呢？
若 将 X 到 Y 的 全部函数，记为 Hom(X, Y)，它是一个集合，称为 霍母集，则 聪明的条友马上会意识到：
- X 的每个子集 U，都 有唯一一个 Hom(U, Y) 与之对应；
这说明，
☆ 存在 一个 从 X 的全体子集 2ᕽ 到 全体霍母集 Hom 之间的 映射 F，即，对于 任意 U ⊆ X，有 F(U) = Hom(U, Y) ，记为：F: 2ᕽ → Hom, U ↦ Hom(U, Y)；
不仅如此，考虑 X 中 任意两个 有包含关系的子集 V ⊆ U，对于 任意 映射 f: U → Y，因为 V 是 U 的子集，所以 可将 f 的 定义域 从 U 限制到 V 得到一个限制，记为 f|ᴠ = f(x) (x ∈ V)，也就是说，
- 每个 F(U) 中 的 映射 f，都对应唯一一个 F(V) 的 限制 f|ᴠ；
这就又构成一个映射，称 限制映射（restriction map），记为：
rᴜᴠ: F(U) → F(V), f ↦ f|ᴠ
这进一步说明，
★ F 还 将每个 包含关系 V ⊆ U 映射为 一个唯一对应的 限制映射 rᴜᴠ；
由此可见，F 并不是普通的映射，它是一种非常有意思的数学结构——这就是小石头今天要介绍给大家的：层（sheaf）。
当然， F 仅仅是层的最原始的模型，要得到层正式的定义，我们还需要继续讨论。
注：空集上的映射 f: ∅ → Y 也是一种映射，称为 空映射。
——§ 承 §——
首先，我们来挖掘一下，限制映射的性质。
考虑 rᴜᴜ: F(U) → F(U)， 由于 将 f: U → Y 的 定义域 从 U 限制到 U 自己，这 等于没有限制，得到的 还是 f 自己，故 rᴜᴜ 其实是 F(U) 上的 恒等映射，即，
① rᴜᴜ = idF(U)
再考虑 W⊆V⊆U，在F映射下对应，
显然有，
② rᴠᴡ ∘ rᴜᴠ = rᴜᴡ
这说明上图从 F(U) 到 F(W) 的 两条路径 一样的，可以交换行行走，称 可交的（commutative）。
然后，再挖掘一下， F 的性质。
如果 存在 X 中的一组子集 {Uᵢ | i ∈ Λ} 使得 U ⊆ ∪i ∈ Λ Uᵢ，则称 {Uᵢ} 是 U 的一个覆盖 。
考虑 U 的一个 恰好覆盖 U = ∪i ∈ Λ Uᵢ，则有 Uᵢ ⊆ U，进而 F 显然具有性质：
❶ 对于 任意 f, g ∈ F(U)，如果 f 和 g 在每个覆盖子集 Uᵢ 中的限制 相同，即 f|Uᵢ = g|Uᵢ ，则 f = g；
这称为 单一（mono）性。
又，对于任意两个覆盖子集 Uᵢ 和 Uj，有 Uᵢ ∩ Uj ⊆ Uᵢ, Uj，于是观察发现 F 还具有性质：
❷ 设 fᵢ ∈ F(Uᵢ), i ∈ Λ ，若 对 任意 i, j ∈ Λ 有，fᵢ 和 fj 在 Uᵢ ∩ Uj 上的限制 相同，即 fᵢ |Uᵢ ∩ Uj = fj | Uᵢ ∩ Uj 则 存在 f ∈ F(U) 使得，对于任意 i ∈ Λ 有 f|Uᵢ = f|ᵢ ；
这称为 粘合（gluing）性。
——§ 转 §——
接下来，我们就可以 对 F 进行改造，以得到正式定义了。
首先，集合 X 毕竟太过普通了，我们知道，数学 在集合 上建立的最重要的两个数学结构 是：
- 指定 全体开集组成的拓扑结构 τ 的 拓扑空间（topological space）；
- 引入 一种乘法运算 ∙ 的 群 （group）；
它们分别是 几何 与 代数 分支 中 最基础研究对象。显然，F 是对于 X 中子集的 映射，这与 拓扑空间 天然契合，我们只需要将 X 升级为 拓扑空间，让 F 的定义域 由 2ᕽ 变为 τ 即可。
然后，霍母集又太过特殊，我们希望 F 更具有通用性，于是把 霍母集 改为 一般的集合，相应的 限制映射 就调整为 更普通映射，当然这个 更普通 又不能太过普通，我们要求 映射满足 前面挖掘出来的 限制映射 的性质 ① 和 ② ，并且依然将其 叫做 限制映射，并沿用原来的标记法。
综上，F 就改造为：
- 给定 拓扑空间 X，F 将 任意 开子集 U 映射为 一个集合 F(U) ，称 F(U) 中的元素为 U 的一个 截面（section）；同时 将 任意开子集的 包含关系 V ⊆ U 映射为 一个 满足性质① 和 ② 的 映射 rᴜᴠ: F(U) → F(V), f ↦ f|ᴠ，称 映射 rᴜᴠ 为 限制映射；
至此，对 F 的改造就进行了一半，称 此时的 F 为 X 上 集合 的 预层（presheaf）。
接着，F 定义中的 F(U) 可以进一步 从 集合 升级改为 群，为此相应的 rᴜᴠ 从 限制映射 调整为 限制 群同态（homomorphism）（即，满足性质① 和 ② 的 群同态），这样的 F 被称为 X 上 群 的 预层。
这样以来，F 就将几何与代数两大数学分支联系在了一起。
当然，用类似的方法，群还可以进一步升级为：Abel群（将 群的乘法 ∙ 替换为加法 ）、环（在 群中加法 ）、模（环 在 Abel群 中的 作用） 甚至是 代数 （环在环上的作用）。
最后，不要忘记，我们前面还从 原始的F 中挖掘出来了 性质 ❶ 和 ❷，对于 （集合、Abel群、环、... 的 ) 预层 F，
- 若 满足 性质 ❶ ，称为 F 为 单一预层（monopresheaf）；
- 若 再满足 性质 ❷ ，就是 层 了。
注：X 上 集合的预层与层 与 Abel群的预层与层，是《层论》入门所研究的两个重要对象，本篇也只涉及到它们两。
——§ 合 §——
最后，我们 看一些 具体的例子：
№1 （最初的原型稍作修改）设 X 和 Y 是一个 拓扑空间，层 Cᵞ 定义为，
- 将 X 的任意开集 U 映射为 全体 U 到 Y 的 连续映射，即， Cᵞ(U) = C(U, Y)；
- 将 任意开集对 V ⊆ U 映射为限制映射 rᴜᴠ : Cᵞ(U) → Cᵞ(V), f ↦ f|ᵥ
№2 设 X 是一个拓扑空间，A 是任意集合，单一预层 Aᵪ 定义为，
- 将 X 的任意开集 U 统统映射为 A，即，Aᵪ(U) = A；
- 将 任意开集对 V ⊆ U 统统映射为 idA，即， rᴜᴠ = idA : Aᵪ(U) = A → Aᵪ(U) = A；
这个单一预层称为 常预层（constant presheaf），它不是 层；
№3 设 X 是一个元素个数大于 1 的拓扑空间，预层 P₁ 定义为，
- 将 X 映射为 整数集 ℤ，将 剩下的 X 的开集 U 统统映射为 {0}，即，P₁(U) = ℤ, U = X | {0}, U ≠ X；
- 将 任意开集对 X ⊆ X，映射为 idℤ，剩下的开集对 V ⊆ U 统统映射为 常映射，即，rᴜᴠ = idℤ, U=V=X | 0, otherwise；
这是一个 病态的 预层，举例目的是为了说明 存在 非单一预层 的 预层。
由于篇幅太长先分个P，续篇接着介绍茎的概念，这个有点抽象，大家有个心里准备！
（实际上，写的非常不好，这超出小石头的科普极限了，感觉很难用再通俗的语言来描述了，只能这样了）
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