七巧板,几乎每个人小时候都玩过的益智玩具。犹记得,90年代的每一本小学数学课本背面,都有一个七巧板拼图(不记得的请看下图)。在那个年代,对于没钱买玩具的我们,七巧板可以说是陪伴我们童年的好伙伴。简简单单七块小板,可以拼成各种各样的图案。无论是飞禽走兽、花鸟虫鱼、亭台楼阁,还是几何图案、数字符号,皆可以轻易拼出,趣味无穷。除了有娱乐价值,其背后还蕴含着丰富的数学知识。

有趣的七巧板数学小报(有趣的七巧板)(1)

首先介绍两个概念:七巧板中的各组块如果是通过尖角连接起来的,那么形成的拼图叫非常规七巧图。(下图左)。通过将七巧板中的各组块互相紧挨着,也就是边-边相连而形成的,叫常规七巧图。(下图右)。后面讨论的都是常规七巧图,这种拼法才有数学意义。

有趣的七巧板数学小报(有趣的七巧板)(2)

1、 七巧板能构成多少个凸多边形

所谓凸多边形是指如果把一个多边形的所有边中,任意一条边向两方无限延长成为一直线时,其他各边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫做凸多边形。虽然七巧板拼法多种多样,但能构成的凸多边形只有13种。这一问题早就在1942年由两位浙江大学的学者在《美国数学月刊》发表的论文证明,作者署名Fu Traing Wan和Chuan Chih Hsiung。这13种凸多边形分别为1个三角形,6个四边形,2个五边形,4个六边形。

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1个三角形

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6个四边形

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2个五边形

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4个六边形

二、七巧板悖论

下图中的图形外形相同,但左边是实心的,右边的有内部空洞或边缘缺口。这就是七巧板中有趣的悖论。像这样的七巧板拼图还有很多,以下只是列举了几个例子。

有趣的七巧板数学小报(有趣的七巧板)(7)

实际上它们的拼法差异如下,还有一个留给读者自行研究。

有趣的七巧板数学小报(有趣的七巧板)(8)

三、七巧板中的空洞

七巧板中很容易就拼出带内部空洞的图形。如下图分别是带1个内部空洞和带2个内部空洞的图形。

有趣的七巧板数学小报(有趣的七巧板)(9)

而拼出带3个内部空洞的图形就有难度了。下图是两个例子,你能找到更多的带3个内部空洞的图吗?

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