作者:郭小哈是只猫

全等三角形的5个判定方法是SAS,ASA,AAS,SSS以及直角三角形全等判定HL,学习这5个判定的过程中,会强调"两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等",即"SSA"是个假命题,因为我们能够举反例说明,如下图:

全等三角形4条判定公式 探索34(1)

在BC的延长线上取一点D,使AD=AC,连接AD,则AB=AB,AC=AD,∠ABC=∠ABD,满足两边及其中一边的对角分别对应相等,而△ABC与△ABD不全等.

虽然"SSA"是个假命题,但是若附加一些条件,可以使它成为真命题,下面我们从直角、锐角、钝角三类三角形的角度,探讨全等的条件

一、两个直角三角形满足SSA

全等三角形4条判定公式 探索34(2)

图①

如图①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据HL,可以判Rt△ABC≌Rt△DEF;若相等的对角不是直角∠B与∠E,而是锐角∠A与∠D(或者锐角∠C与∠F),那么根据三角形内角和定理,两个直角三角形中三个角都对应相等,加上两条边对应相等,全等就有足够多的条件。

二、两个锐角三角形满足SSA

全等三角形4条判定公式 探索34(3)

通过上述证明,我们得出结论,满足"SSA"的两个锐角三角形全等;

三、两个钝角三角形满足SSA

1、若两个三角形是等腰钝角三角形,且满足SSA,那么有一个角相等时就等价于三个角都对应相等,加上还有两边对应相等,全等条件十分充足,所以这样的两个等腰钝角三角形一定全等。

2、若两个三角形是不等边的钝角三角形,如图③,钝角三角形ABC,在钝角所对的边BC上取一点D,使得AD=AC,连接AD,构造出钝角三角形ABD,则有条件AB=AB,AC=AD,∠ABD=∠ABC,满足SSA,显然两个钝角三角形不全等;

全等三角形4条判定公式 探索34(4)

图③

进一步探索发现,上述例子中相等角所对的边是两组等边中较小的边,即在△ABC中,∠ABC所对的边AC<AB,在△ABD中,∠ABD所对的边AD<AB,或者说"SSA"中的"A"是两组等边中较短的边所对的角;因此我们得出结论:当两个钝角三角形两边对应相等,且其中较小边所对的角也相等,则两个钝角三角形不能全等。

我们将上述命题的条件改为:当两个钝角三角形两边对应相等,且其中较大边所对的角也相等,是否能够成为全等的依据,接下来探索其真伪。

若相等的较大边所对的角为钝角,且相等:

全等三角形4条判定公式 探索34(5)

若相等的较大边所对的角为较大的锐角,且相等:

全等三角形4条判定公式 探索34(6)

上述分析可知,当两个钝角三角形两边对应相等,且其中较大边所对的角(钝角或者较大的锐角)也相等,则两个钝角三角形全等。

综上所述,探究使"SSA"成为全等三角形判定方法的条件的相关结论如下:

(1)满足"SSA"的两个锐角三角形全等;

(2)满足"SSA"的两个直角三角形全等,此情况等价于直角三角形全等判定"HL";

(3)满足"SSA"的两个等腰钝角三角形全等;

(4)满足"SSA",且等角是对应相等的两边中较大边所对的角的两个钝角三角形全等;

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