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NO. 132
进制问题
算式123×36=4672在几进制下成立？
问题分析解答
借这个题目，我们先来说说关于进制的一些知识及非进数与十进数之间的转换问题。
关于进制的知识
我们平常用的数都是十进制数，除了十进制以外，人类也用到非十进制，例如：二进制、八进制、十六进制、六十进制等。
二进制在在电子计算机上有着重要的应用，另外，为了克服用二进制来表示一个数往往书写较长的缺点，有的电子计算机也用到八进制（或十六进制）。十六进制，东西方国家都曾采用过，例如，我产的旧秤，1斤=16两种；在欧洲，1磅=16盎司，1俄尺=16俄寸等。现在时间以及度量角或弧的单位里，用的是六十进制，60秒为1分，60分为1小时。
电子计算机在进行计算时，要先把十进制化为二进制数输入到机器中。计算之后，再把二进数化为十进数输出。因此，研究非十进数与十进数之间的转换就显得非常重要。
非十进数与十进数的互化
下面以十进数与二进数的互相转化来说明非十进数与十进数之间的转换方法。
对于其他进制和十进制的转换可以利用类似的方法。如果你想了解更多关于进位制的知识，推荐阅读由李友耕所著《进位制与数学游戏》一书（在好玩商城有售）。
回到本问题
现在回到本问题，我们可以假设算式123×36=4672在n进制下成立。则在n进制下，123化为十进数为n² 2n 3，36化为十进数为3n 6，4672化为十进数为4n³ 6n² 7n 2。于是以上算式在十进制下可写为：
(n² 2n 3)(3n 6)=4n³ 6n² 7n 2
化简得
n³-6n²-14n-16=0
为了解这个关于n的三次方程，我们可以利用拆项的方法进行因式分解。
n³-8n² 2n²-14n-16=0n²(n-8) 2(n-8)(n 1)=0(n-8)(n² 2n 2)=0
所以，n=8，即在八进制下算式成立。
另外一个比较巧的方法是，考虑乘积的个数。具体可参见“题友解答精选”。
题友解答精选
◎题友 @徐豪达的解答：
最笨的办法，设是a进制，转成10进制后的式子是(3 2a a²)(6 3a)=2 7a 6a² 4a³，化简得a³-6a²-14a-16=0,(a-8)(a² 2a 2)=0，故a有唯一实数解8，即是8进制。
◎题友 @韩数的解答：
八进制。 因为十进制下3×6=18，而在这个进制下个位是2，所以该进制是16的约数。 因为出现的最大数字是7，所以至少是八进制。 八进制满足，十六进制不满足。
◎题友 @跟我飞 的解答：
有数字7，最少为8进制。左边个位数为3和6，右边为2，所以进制数为16的因子，只能是8或16.又左边为3倍数，所以a^3 a 2是3的倍数，所以a除以3余2，a只能是8，经验证，八进制时左右相等。
◎题友 @舟自横 的解答：
我说个小众点的思路吧。 无论在几进制下,36都是能被3整除的,那么该进制下4672也能被3整除,每位上都减去3的倍数,1012能被3整除 即x^3 x除以3余1,可得x除以3余2。 再加上数字里有7,以及末尾进位进了16,可得x=8。
再简化一下: 因为有数字7,x>=8，123*36=4672,则23*36=1072，23*40>1072，23*4>107，20*4>107-3*4=100-5>100-10，2*4>10-1，即10进制下有:x-1<8 8<=x<9 x=8。
本期答案整理：子曰 编辑：子曰
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