昨天写了一篇文章，太神奇了，所有自然数之和为-1/12，我证明给你看。很多小伙伴留言：老胡你真是胡说科学、混淆视听、怎么可能、逻辑错误……同学们都很厉害，但是大家比较谦虚，很少能说出问题的关键，这里涉及到一个非常著名的数学猜想：黎曼猜想，和一个数学概念：解析延拓！废话少说，进入正题！
可以说，如今纯数学中最重要的未解决的证明就是黎曼假设了，该假设与素数的分布密切相关。理解这个问题所需的基本技术之一称为解析延拓，这是本文的主题。解析延拓是一种来自于数学分支复分析的技术，用于扩展复解析函数的定义域。
- 图1:解析延拓技术在自然对数(虚部)上的应用示意图
一些重要的数学概念
在介绍这项技术之前，我将简要地解释一些重要的数学概念。
泰勒级数
假设我们想求某个函数f(x)的多项式近似。多项式是由变量和系数构成的数学表达式。它们涉及基本操作(加法、减法和乘法)，并且只包含变量的非负整数指数。一个n次变量x的多项式可以写成：
- 方程1：一元x次n的多项式
- 图2:3次和4次多项式图
现在假设多项式有一个无穷大的次数(它是由无限项的和给出的)。这种多项式称为泰勒级数(或泰勒展开)。泰勒级数是函数的无限项和的多项式表示。级数的每一项都是由f(x)在一个点上的导数值，关于点a处的泰勒级数的形式为：
- 方程2:一个关于a的函数f(x)的泰勒级数
其中上标(0)、(1)…表示f(x)的导数在x=a时的阶数。人们可以使用一个多项式来近似一个函数，而该多项式对应的泰勒级数的项数是有限的。这种多项式叫做泰勒多项式。在下面的图中，函数f(x) = sin x的几个泰勒多项式被显示出来。
- 图3:泰勒多项式与越来越多的项显示。黑色曲线是sin(x)其他的近似是1、3、5、7、9、11、13次泰勒多项式
f(x) = sinx的前四个泰勒多项式由：
- 方程3:f(x) = sinx的泰勒多项式，阶数为1、3、5、7。它们在上图中被绘制(连同高阶展开)。
收敛
无穷级数收敛的概念在我们讨论解析延拓时也将是至关重要的。数学序列是具有特定顺序的元素(或对象)列表。它们可以表示如下：
- 方程4:无穷数列。
一个众所周知的级数例子就是斐波那契数列0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，其中每个数字都是前两个数字的和。
- 图4:用边长等于连续的斐波那契数的正方形平铺。
人们通过对一个序列的部分元素求和来构建一个序列。部分和的级数可以表示为：
- 方程5:部分和的无穷序列。
这里：
- 方程6:式(5)中部分和的值
下面是一个级数的例子，即我们熟悉的几何级数。在几何级数中，连续元素之间的公比是常数。对于比率等于1/2，我们有：
- 方程7:公比= 1/2的几何级数
从图5可以看出，上面的几何级数收敛到最大正方形面积的两倍。
- 图5:几何级数收敛的图示，其公约数r=1/2，第一项A =1
如果部分和的序列式5趋近于某个有限极限，则如式6所示的级数是收敛的。否则，这个级数就是发散的。收敛级数的一个例子是式7中的几何级数。发散级数的一个例子是：
- 方程8：一个发散级数的例子是所谓的调和级数。
很容易看出，调和级数与曲线y=1/x的积分相比是发散的。见图7。由于曲线下方的面积完全包含在矩形内，且y=1/x下方的面积为：
- 方程9:曲线y=1/x下方的面积，如图6所示。
矩形的总面积也必须是无穷大的。
- 图6:谐波级数与y=1/x曲线下的面积比较，证明谐波级数是发散的。
几何级数通常是给定变量x的连续幂的和(见图5)。更具体地说，考虑如下的几何级数，其中第一项为1，公比为x:
- 方程10:几何级数的一个例子。
求出这个和的封闭形式并不难。两边都乘以x
- 方程11:方程10乘以x。
两个方程相减。大多数项约掉了，剩下：
- 方程12:求几何级数的和
如果|x|<1，取x→∞，则和式的分子第一项趋于0，得到：
- 式13:当|x|<1时的无穷几何级数。
现在让我们看看当我们令x=2时发生了什么，它在级数式13的收敛区间之外。我们得到：
- 方程14:在|x|<1区域外x的方程13
我们得到一个算术上无效的和。这再次表明，将函数与无穷级数方程13联系起来只适用于变量x的有限范围。
复数：解析函数、极点和收敛圆盘
到目前为止，我们的分析仅限于实数。现在我们把它推广到复数。复平面是复数的几何表示，如图7所示。
- 图7:复数平面，复数的几何表示。该图表示实轴和(垂直的)虚轴。
我们来考虑解析复函数f(z)的展开式。根据定义，解析函数是由收敛幂级数局部给出的函数。如果f (z)是分析z₀,幂级数：
- 方程15:解析函数的泰勒展开f (z)转换为z₀幂级数是一个复杂的值
在类比的情况下几何级数,收敛仅限于一个实线区间半径为1,本系列只集中在复平面的一个圆形区域集中在复数z₀。
- 图8:从实线到复平面
f (z)的收敛区域是一个圆形区域集中在z₀扩展到最接近,f (z)→∞。图9显示了收敛区域的白色圆)(有界函数1 / (1 z²)。
- 图9:白色的圆的函数的收敛盘1 / (1 z²)
一个复杂函数包含两极的另一个例子是γ函数的绝对值|Γ(z) | 图10所示。函数由：
- 方程16：函数
图中显示的两个点|Γ(z) |由于两极的存在变得无限。最终，当向右移动时，函数不会出现更多的极点，它只会增加。
- 图10:包含极点(在其发散处)的复平面中的函数示例。
一个更强的收敛准则叫做绝对收敛。我们称之为收敛我们已经讨论过条件收敛。当下列级数收敛时，出现绝对收敛：
- 方程17:用于检验绝对收敛性的一系列值
当一个级数是绝对收敛的，它也是有条件收敛的。绝对收敛性的检验有几种，其中之一是比值检验。考虑到系列：
- 方程18:一般无穷级数
现在定义以下比例：
级数式18在r<1时绝对收敛，在r>1时发散。如果r=1，则不能得出结论。
- 图11:比率检验的决策图
使用比值检验(或任何其他收敛检验)来显示以下重要结果是很简单的：
- 方程20:指数等于或大于k的指数的收敛性。
现在让我们最后研究解析延拓技术，这是本文的主要主题!
解析延拓
从介绍中我们已经知道，解析延拓是一种扩展解析函数域的技术。我们现在可以更正式地定义它如下。假设f(z)在区域R上是解析的，现在假设R包含在S中，如果存在g(z)这样的函数，f(z)可以解析地从R继续到S：
- g(z)是S上的解析式
- 对于所有z∈R，g(z)=f(z)
解析延续过程的另一个重要特性是它是惟一的。
一个示例将使这个定义更加清晰(本节主要基于这个分析)。我们从函数的展开开始
- 方程21:函数1/(1-z)在z=0处有一个半径为1的收敛圆
它在z=1处有一个极点。相应的收敛圆盘如下图所示：
- 图12:在z=1处有极点的函数示例。收敛圆的半径为1
我们可以把方程21所给的函数展开到函数及其导数表现良好的任意点上。例如，令z = 2。为了扩展围绕它的级数，我们需要评估z₀ = 2时f（z）的导数。
- 方程22:方程21的导数
将这些导数代入幂级数方程15，得到：
- 方程23
用z₀= 2，我们得到：
- 方程24:方程23中z₀= 2时函数的幂级数
- 图13:收敛圆的半径还是1。
假设我们不知道某个函数f(z)的闭式表达式，但我们只知道它在复平面上某个区域的幂级数。让这样的幂级数
- 方程25:幂级数在以原点为中心半径为1的圆内收敛的例子
我们已经知道，这个级数只收敛于模小于1的复数。让我们看看如何确定这个函数的值在任何z(除了极点在z=1)使用解析延拓。为此，考虑下面的图14：
- 图14
我们可以在收敛盘| z | <1内的任意点计算函数f（z）及其导数。因此，我们可以选择某个点，例如z₀（如图所示），并确定f（z z）的幂级数。该幂级数将在以z 为中心的圆盘内收敛，并延伸到z = 1 处的最近极点（见图14）。因此，我们得出的结论是，我们可以在原始幂级数的收敛区域之外的复数值上评估函数。
下一步是不言而喻的。参见图14。一旦我们评估了f（z z₀）的幂级数，就可以使用相同的过程，并选择位于新收敛区域内的另一个点z₁。然后，我们确定f（z z₁）的幂级数展开，它将在以z₁为中心的新圆形区域内收敛（与以前一样，该圆形区域延伸到最接近的极点z = 1）。
- 图1
继续这个过程，一个人可以分析地扩展函数通过整个复杂平面，不包括函数的极点！
解析延拓的一个应用：黎曼假设
格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼是一位德国数学家，被许多人认为是有史以来最伟大的数学家之一。他对数学和物理学的许多分支都有贡献(他在微分几何方面的工作奠定了爱因斯坦广义相对论的基础)。解析延拓的一个应用是在他关于质数的研究中，更确切地说，是在他1859年的论文中，首次阐述了现在著名的黎曼假设。
- 图16:伟大的德国数学家黎曼和他的论文手稿《论小于给定数量的质数的数量》，其中包含了他的假设
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- 方程26:黎曼函数
在复平面的其余部分通过解析延拓。为了了解为什么上面的级数只对Re(s)>1有效，我们取一个泛型项的绝对值
- 方程27:级数方程26中某一项的绝对值
如前所述，如果和(和的元素)的绝对值的和是有限的，则无穷级数是绝对收敛的。因此，为了使方程26完全收敛，我们必须有Re(s)>1。黎曼表明,通过分析延续一个可以扩展ζ(s)整个复平面(只有一个极s = 1)。
黎曼假设指出：
黎曼函数的每个非平凡零点的实部是1/2。
下图说明了假设。它显示了以下重要的解释：
- 所谓的平凡零点指 -2，-4，-6，…
- 如果假设成立，临界线包含所有非平凡零
,
- 图17:除了平凡的零，黎曼泽塔函数的所有解都在临界带中(见图)。根据黎曼假设，所有非平凡零都位于临界线Re(s) = 1/2上。
