虚数的基本知识(怎样有实感地理解虚数)(1)

虚数是什么?通俗地说就是引入了负数平方根之后得到的数。

假设有一个数 i , i 的平方是负一,我们叫它虚数单位,或简称虚单位。

任取实数 a , b ,我们说 a bi 是复数,只要 b 不为 0 就是虚数。

但即便这么说了,很多人还是会觉得它不真实。

谁的平方是负一?[what]虚单位 i .

那 i 到底是多少?[what]负一的平方根(之一,另一个是 -i )。

那负一的平方根不是不存在吗?[what]我们假设它存在。

……

有的人会借助复平面来说明,乘以 i 就是旋转了 π/2 , i 的平方就旋转了 π 变成了相反的向量……然而这个说法需要复数乘法的几何意义。会更让人迷惑于为什么要给向量定义这么复杂的运算。[捂脸]

本文的目的是用一个比较实在的对象----多项式来展示复数。

实系数多项式应该是初中二年级学生可以理解的,不过这里把单项式也看作特殊的多项式,叫整式更符合初中生的习惯。

如果你觉得多项式也不实在,那就没办法了……[捂脸]

复数可以看作实系数多项式环R[x]的一种同余类。

环是什么?这里不讲细致的定义,你可以理解为能做加法、减法、乘法的集合。

R[x] 就是一个集合,里面都是以x为不定元的实系数多项式。

普通的整数可以做带余除法(能做带余除法是欧几里得环的特性),比如:

17÷5=3‧‧‧‧‧‧2,可以改写为乘法形式 17=5*3 2.

也就是给定整数 a, 正整数 b,那么有唯一一对整数 c , d 使得 a=bc d , d大于等于0而小于b.

多项式也能做类似的事情:

给定多项式 a(x), 非0多项式 b(x),那么有唯一一对多项式 c(x) , d(x) 使得 a(x)=b(x)c(x) d(x) , d(x)的次数低于b(x). (0也看作特殊的多项式,为了方便,约定0多项式的次数为负无穷。)

比如a(x)=x^2 x 1 , b(x)=x^2 1 , 那么 c(x)=1 , d(x)=x.

x^2 x 1=(x^2 1)*1 x

取定一个 b(x), 如果两个多项式 a1(x) , a2(x)分别除以 b(x)得到的 d1(x) 和 d2(x) 相等,我们就说它们模b(x)同余。

也可以换一个表述 a1(x) - a2(x) 能被 b(x) 整除,也就是存在某个p(x)使得:

a1(x) - a2(x) = b(x) * p(x)

我们取b(x)=x^2 1,可能的余式d(x)一定是常数或一次多项式。

也就是,任何实系数多项式 f(x) 在模 x^2 1 之下总和某个px q 是同余的。

要想得到最低次数的余式,只要把 f(x) 中每个高于2次的项按照把 x^2替换为-1即可。

特别地,x^2 与 -1 在模 x^2 1 之下同余。

在整数的情况,我们按2同余,可以把整数分为奇数和偶数,将日历按7同余可以得到星期几。

而实系数多项式环 R[x] 在模 x^2 1 之下的同余类集,就是复数集。

虚单位 i 就是 x 模 x^2 1 之下的同余类。

有人可能有疑惑,x 是什么?能不能换成y,z,w……呢?

x是为了表达多项式引入的不定元,只是个脚手架的作用,当然可以换。

实系数多项式 f(x) 和 实系数多项式 f(y)、f(z)、f(w)……显然有个自然的一一对应,同余类也是一一对应的。

因此,导出的结构,本质上是一样的。

数学关心的,是这种结构。

正如1,2,3……既存在于1个苹果,2个苹果,3个苹果……的例子,也存在于1个梨,2个梨,3个梨……的例子,但它们本身与具体的苹果、梨没有特定关系。只要符合皮亚诺公理系统,都是可行的自然数集。

思考题,如果把b(x)换成别的多项式,那么相应的同余类会成怎样的结构?

(要搞明白这个问题,需要代数基本定理和分裂域的概念)

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