之前记录了一个使用二倍角公式和三倍角公式计算sin18°的方法(利用三角函数公式求sin18°)。对于18°这种半特殊角三角函数的计算,还可以使用几何方法来求,就如同15°角三角函数的求解方法(15°角三角函数的计算)一样。基于18°角的特殊性,通过构造存在18°、36°、54°、72°的三角形,进一步构造直角三角形,可以通过图形边长的关系求得。下面记录一个仅使用初中阶段相似三角形知识就能求得的方法。

我们知道,如果一个等腰三角形的顶角为36°,那么底角就为72°,将底角进行平分,就又可以构造出36°。而将顶角进行平分,就会形成18°。

常用角度数的三角函数值(经典的半特殊角)(1)

在这个图形中,容易看出,△BCD是△ABC的缩小版,即△BCD∽△ABC。既然有相似的关系,那就不难得到关于线段长度的比例关系。

设AB=AC=1,AD=x

△BCD为等腰三角形,△ADB也为等腰三角形,于是:

AD=BD=BC=x

常用角度数的三角函数值(经典的半特殊角)(2)

因为△BCD∽△ABC

所以BC:CD=AB:BC,即x:(1-x)=1:x

可以求得

常用角度数的三角函数值(经典的半特殊角)(3)

再做AE⊥BC于E,则AE是∠BAC的角平分线,将36°分成了两个18°角。于是可以得到:

常用角度数的三角函数值(经典的半特殊角)(4)

常用角度数的三角函数值(经典的半特殊角)(5)

对于三个角分别为36°、72°、72°的三角形,非常特殊,线段长度关系都比较好计算。以后看到36°、72°这个角度值,应该顺势联想到这个三角形。

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