这是在百度上看到的几何题。本以为比较简单，做起来却花了一番功夫。题目如下。
几何题
首先审题：顶角135°表明外角是45°，延长AC到E，使BE⊥AE，则三角形BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理和相似三角形相似比可以列出方程算出CD。
作辅助线
设CE=BE=x，AC=y。CD²=y²-10²。
由勾股定理得：BC²=CD² BD²=x² x²，即
y²-10² 3²=2x²，2x²=y²-91。①
在对△ABE用勾股定理得：
(x² y²) x²=13²=169，
2x² y² 2xy=169。②
①代入②得：2y² 2xy=260，
y² xy=130，x=(130-y²)/y。③
③式也可以用相似比得到。
③代入①得：2(130-y²)²/y²=y²-91，化简得
y⁴-429y² 33800=0，解得y²=104。
CD²=y²-10²=104-100=4，CD=2。
这个方程数据比较大，计算要花点时间。
高中生用三角函数可以很快算出。
设∠CBA=α，则∠A=45°-α。
3tanα=10tan(45°-α)
=10(1-tanα)/(1 tanα)，
3tan²α 13tanα-10=0，
解得tanα=2/3。
CD=BDtanα=3×2/3=2。
再来看老师的解答。
老师的解答先用带x的式子表示BC，再把CD用带x的式子表示，AH也用带x的式子表示，然后用相似比求出x，进而求出CD。很好的解法，比我的解法要简单很多。
老师的解答
总结一下：这道几何题有点难度，主要考察学生是否能够根据已知条件作出合适的辅助线，以及用勾股定理和相似三角形相似比解题的能力。
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后续：网友们在评论区提供了很好的解法，初中学生可以去学习一下，拓宽自己的解题思路。
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