进入中学后，数系扩大到有理数，随着负数的引入，相反数和绝对值进入课本也就顺理成章了。绝对值是中学数学的一个重要概念，也是七年级的学习难点之一。下面我们来谈谈绝对值的定义和化简，以及相关例题的精解。
开场故事：一场激烈的辩论会小学数学和具体的数打交道，进入中学后开始接触用字母代替数。这不仅增加了一层抽象程度，还让一些同学感觉不适应。
初一(14)班的小李同学问小王：“－a是负数吗？”
小王回答说：“是负数，因为a前面有个－号。”
旁边的小张说：“不一定是负数，因为字母a可以是任何数，如果a是负数的话，那么－a就是正数了，所以－a是负数或正数。”
另一旁的小杨插话了，他说：“如果a是零呢？”
大家“啊！”地一声，小李激动了，大声说：“－a到底是什么数？怎么回答？”大家议论纷纷。
班上的数学科代表小周站起来，他慢条斯理地说：“其实－a到底是什么数，大家辩论得差不多了，只是如何准确地表达的问题。”
如果用文字语言来回答，应该是：
当a为正数时，－a为负数；
当a为负数时，－a为正数；
当a为0时，－a为0。
如果用数学符号语言来表述，则是：
当a>0时，－a<0；
当a<0时，－a>0；
当a=0时，－a=0.
小周的总结非常正确。小周在这里使用了“穷举法”。所谓穷举法，就是在讨论一个问题时，把所有可能的情况都一一列举出来，一个不重，一个不漏，然后对各种情况逐一分析，去掉不合条件的，留下符合条件的，最后作出结论。这是一种重要的数学思想方法——分类讨论的思想方法。这种思想方法贯穿于初中、高中和大学的学习当中，希望同学们能引起足够的重视。
绝对值的定义在一次数学测验中，试卷里有这样一道填空题：若|a|=－a，则a____0.
小李同学填的是“<”号，即a<0.评卷的老师在这个答案的后面打了一个“✘”，并扣了分。卷子发下来，小李同学一看，认为是老师批改错了，就去找数学陈老师，说：
图一
图二
这是绝对值的定义，写得明明白白，a<0时，
|a|=－a，我怎么会错呢？
数学陈老师说：这两个公式都没错，是绝对值的定义。绝对值记作|a|，这个公式，即|a|的表达式，符合一个不重，一个不漏的原则，但是用起来却很容易出差错。
由|a|=－a，应该得出a≤0，因为a=0也符合条件，如果只得出a<0，就漏掉了一个a=0，当然是不对的。这个知识点，有一次全国初中数学竞赛还考过。同理，由|a|=a，应该得出a≥0，而不是a>0.
但是，如果绝对值这样定义：
图三
又是不合理的！为什么不合理？因为a=0重复了两次！违反了“不重不漏”的原则。
总结：老师的批改没有错。我们应从小李同学的错误答案中吸取教训，答题时应该认真、细致、全面地考虑问题。
让我们再重温一下绝对值的定义。
图一和图二是三分支和两分支表述的代数定义。
也请同学们理解：
若|a|=a，则a≥0，
若|a|=－a，则a≤0.
用文字语言定义：
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。
上面关于绝对值的定义蕴含着下面几个重要的结论：
（1）任何有理数的绝对值都是非负数，即
|a|≥0；
（2）两个绝对值相等的数，它们或者相等，或者互为相反数，即|a|=|b|，那么a=b或a=－b；
（3）一个数的绝对值是它本身，这个数必定是非负数，即如果若|a|=a，那么a≥0；
一个数的绝对值是它的相反数，这个数必定是非正数，即如果|a|=－a，那么a≤0.
（4）绝对值为0的数，只有0自身。即如果|a|=0，那么a=0.
这些结论在解决与绝对值有关的问题时，非常有用。
绝对值化简其实，上面说的绝对值的概念和定义，已经包含了绝对值化简的方法。
在去掉绝对值符号时，我们需要判断是否变号。举个例子：
|a－b|=a－b，（a－b）≥0；
|a－b|=－(a－b)=b－a，（a－b）<0.
遇到绝对值符合里面有字母的时候，一定要分类讨论，非负性是绝对值的重要性质，所以在去掉绝对值符号时，要保证每一个绝对值都不是负数。下面请看例题：
计算|1－a| |2a 1| |a|的值(其中a<－2)。
∵|1－a|=1－a>0；
|2a 1|=－(2a 1)>0；
|a|=－a>0.
∴原式=1－a－2a－1－a
=－4a.
把题目改一下，去掉a<－2的限制，你还会不会做呢？
题目虽然变复杂了，但是牢记绝对值的非负性，完全可以做对。解题思路是先分类讨论，再综合在一起得到答案。
具体解法是先求出使绝对值等于0的a值，即找零点，几个零点把数轴分为几段再分类讨论。这就是零点分段法。最后再综合起来写出答案。
本题有3个零点，它们是－1/2，0，1。
∵当a<－1/2时，原式=1－a－(2a 1)－a
=1－a－2a－1－a=－4a
当－1/2≤a<0时，原式=1－a 2a 1－a
=2；
当0≤a<1时，原式=1－a 2a 1 a
=2a 2；
当a≥1时，原式=a－1 2a 1 a
=4a.
∴
运用题设中的隐含条件
例1 已知：|x－2| x－2=0，求：x 2的最大值。
因为|x-2| x－2=0，所以|x－2|=－(x－2)，根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，所以x－2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2，所以x 2的最大值为4。
利用数轴获取信息
例2 有理数a，b、c在数轴上的位置如图1所示，化简|a| |b| |a b| |b－c|式子。
图一
观察数轴可知a<0，c>b>0，且|c|>|b|>|a|，则a b>0，b－c<0， 所以
原式=－a b a b－b c=b c
最后一道难题
遇到难题的慌张
例3 化简||x-1|-2| |x 1|
这道题有点难，有的同学完全不会做。
有句话叫“难者不会，会者不难”。
明朝数学家程大位说过：“难者，难也。然似难而实非难也。……，其难题唯在乎立法，立法既明，则迎刃而破，又何难之有哉。”
找到解题方法，就不难了。
题目有三个绝对值，先确定零点值，再用零点分段法分类讨论。双层绝对值就分步骤去绝对值符号。
题目有三个零点，即－1，1，3，这三个点把数轴分为四段，分段讨论。
解：
(1)当X<－1时，
原式=|1－x－2|－X－1
=|－X－1|－X－1
=－X－1－X－1
=－2X－2
(2)当1>X ≥－1时，
原式=|1-X-2| X 1
=|-X-1| X 1
=X 1 X 1
=2X 2
(3)当3>X≥1时，
原式=|X-1-2| X 1
=|X-3| X 1
=3-X X 1
=4
(4)当X≥3时，
原式=|X-1-2| X 1
=|X-3| X 1
=X-3 X 1
=2X-2
综上所述，绝对值在初中数学中有着重要地位，贯穿于整个初中代数、几何的各个角落。绝对值是重要的数学基础知识，蕴含了丰富的数学思想和方法，如数形结合思想、化归思想、分类讨论思想等，应当引起足够的重视。
附录：绝对值相关学习资料
下次我们谈谈绝对值的几何意义，敬请期待。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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