数学的理解 一般性原理 12 皮亚诺自然数公理与数学归纳法
意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano），将关于自然数的知识总结为五条公设，是谓自然数公理，也叫做皮亚诺公理，以纪念这位数学家。早期公设和公理的意思是不同的，公设可以理解为是“狭义”的公理。只是现代数学，不再区分公设和公理而统统称之为公理。
下面的自然数公理，与原始版本不同，总共有七条法则。其中遵循了每一条公设只涉及一件事这样一个潜规则。非形式（即通俗的）的叙述如下，其中把“0也归于自然数”：
I. 0是自然数；
II. 每一个自然数a，都有后继（自然）数a ；
III. 0不是任何自然数的后继数；
IV. 0 ＝1；
V. a ＝a＋1；
VI. 对于自然数b和c，如果b ＝c ，那么b＝c；
VII. 以上确定了全体自然数。
相较于原始版本，这里增加了第IV条，而第II，V条合并就是原始版本的第二条。第IV条喻意1是自然数增加的最小单位。
自然数公理，需明确两个方面。一是哪些是自然数，二是唯一性。上述七个公设中，除了VI条是关于唯一性的公设外，其它六条都是关于哪些是自然数的公设。此外，自然数公理定义了自然数的加法（V），它也是自然数的生成法则；II条规定了自然数的序；第VII条也叫做归纳公理，命定数学归纳法逻辑是严谨的。I和III确立0是第一个自然数。
关于自然数的命题P：① P对自然数1为真，② 假定P对自然数n为真；③ 若暨此可证明P对n＋亦为真；则P对所有自然数为真。
自然数公理定义了自然数的加法。加法的下列性质都是自然数公理的推论：
⑴ 0＋m＝m
⑵ n＋＋m＝(n＋m)＋
⑶ 交换律：n＋m＝m＋n
⑷ 结合律：n＋m＋p＝(n＋m)＋p＝n＋(m＋p)
⑸ 封闭性：任意两个自然数之和仍然是自然数。
运算封闭性是一个重要指标。在数系上定义运算，一般地都有封闭性要求。
在自然数公理基础上，可以进一步定义自然数的乘法。
自然数乘法的定义
对于任意的自然数m，和n，乘法（×或 · ）定义为满足以下两条的运算：
- m·0＝0
- m·n ＝m·n＋n
有了这两条，任意两个自然数相乘的结果都能够确定下来。以下的性质是定义以及自然数公理的推论：
⑴ 乘法交换律：m·n＝n·m
⑵ 乘法结合律：mnk＝(mn)k＝m（nk）
⑶ 乘法对加法的分配率：m(n＋k)＝mn＋mk
⑷ 封闭性：任意两个自然数之乘仍然是自然数。
在此基础上，还可以进一步定义加法的逆运算减法，对减法封闭性要求，数系从自然数系扩展到整数系；定义乘法的逆运算除法，对除法封闭性要求，数系进一步扩展到有理数系。
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