从n到n 1，这一步接一步的程序产生了数的无限序列，也构成了数学推理的一个最基本的类型数学归纳法的基础。
数学归纳法的一个有趣的应用是关于前n项平方和。通过直接实验可以发现，至少在n不大时有
1² 2² 3² … n²=n(n 1)(2n 1)/6
人们猜想这个重要公式可能对所有正整数n都成立。为了证明这点，我们用数学归纳法原理。我们先看如果命题An对n=r的情形是正确的，即
1² 2² 3² … r²=r(r 1)(2r 1)/6
然后在这等式两边加上(r 1)²，得到
这情形正好是命题Ar 1。为了完成证明，我们只须说明命题A1成立，而这时等式
1²=1(1 1)(2 1)/6
显然成立。
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