平面体是由若干个平面所围成的几何体。
一、平面立体的投影常见的平面体有棱柱、棱锥和棱台，如图1-59所示。
图1-59 平面体
①平面体三视图的画法
a.棱柱体。棱柱体有直棱柱或称正棱柱（侧棱与底面垂直）和斜棱柱（侧棱与底面倾斜）之分，本节只介绍直棱柱。
如图1-59所示，直棱柱的形体特点是两个底面为全等且相互平行的多边形，各侧棱垂直底面且相互平行，各侧面均为矩形。底面是直棱柱的特性面，反映了该直棱柱的形状特征。底面是几边形（或某形状），即为几棱柱（或某棱柱）。图1-59（a）为直三棱柱；图1-59（b）所示形体底面为六边“﹂”形，称为直六棱柱或﹂形棱柱。
同一棱柱，在三投影面体系中放置位置不同，其三面投影也不相同。为了使投影简单易懂，常将棱柱的底面和主要棱面平行于投影面放置，如图1-60所示为正六棱柱的三视图。
正六棱柱由八个面围成，其中上下两个底面为全等且平行的正六边形，六个侧面为相同的矩形。在三个投影面体系中的摆放位置是上下底面为水平面，前后侧面为正平面，如图1-60（a）所示。
图1-60 六棱柱体的投影
该六棱柱的H面投影为正六边形，是体上八个面的投影，其中六边形为平行于H面的上下底面的重合投影，且反映实形，六边形的边是六个侧面的积聚投影；六个顶点是六条棱线的积聚投影。
V面投影为三个矩形线框，包括形体上八个面的投影，中间的矩形为前后两个侧面的重合投影，且反映实形；左右矩形线框为其余四个侧面的重合投影，由于四个侧面均为铅垂面，其V面投影为类似形；V面投影中上下边线是两个底面的积聚投影。侧面投影同理，读者可自行分析。
画投影图时，一般先画反映棱柱底面实形的特征投影，然后再根据投影关系和柱高画出其他投影。
特别提醒：
画图时“宽相等”的关系往往容易搞错，故在图1-60中过原点画一条45°斜线，有助于掌握“宽相等”的关系。
六棱柱三视图的作图步骤如图1-60［（a）、（b）、（c）］所示。
同理分析，可画出图1-61所示各直棱柱的三视图，图中虚线表示棱柱体的不可见棱线。
图1-61 棱柱体的三视图
从这些例图中可以看出，直棱柱三视图的图形特征是：一个投影为多边形（特征图），是底面实形，反映直棱柱的形状特征，另两个投影的外框都是矩形。
b.棱锥体。如图1-59（c）所示，棱锥的形体特点是底面为多边形，侧棱面为三角形，侧棱都交于一点（锥顶）。图1-62为四棱锥的三视图。该四棱锥由五个面围成。底面为长方形，四个侧面均为三角形，四侧棱汇交与一点。把四棱锥放在三投影面体系中，使底面平行于H面，左右侧面垂直于V面，前后侧面垂直于W面，如图1-62（a）所示。
图1-62 棱锥的投影
四棱锥的H面投影是含有四个三角形的四边形，为特征投影。四边形为底面实形，四个三角形是侧棱面在该投影面上的类似形投影，与底面投影重合，中点为锥顶的投影。
V面投影为三角形线框，包含了棱锥上五个面的投影。三角形的底边为底面的积聚投影；两腰为左右侧面的积聚投影；两腰的交点为锥顶的投影；三角形为前后棱面的重合投影。由于前后两个棱面均为侧垂面，则V面投影为类似形。侧面投影同理，读者可自行分析。
画图时，一般先画反映棱锥底面实形的特征投影，然后再根据投影关系和锥高画出其他投影。四棱锥三视图的作图步骤如图1-62［（b）、（c）、（d）］所示。
同理分析，可画出如图1-63所示三棱锥的三视图。
图1-63 三棱锥的三视图
从以上两例可以看出，棱锥三视图的图形特征是一个投影外框是多边形，是底面实形，其内有数条汇交于一点的直线，反映棱锥的形状特征；另两个投影的外框都是三角形。
c.棱台。如图1-59（d）所示，棱台的形体特点是两个底面为大小不同、相互平行且形状相似的多边形。各侧面均为等腰梯形。
图1-64为一四棱台的三视图，其画法思路同四棱锥。其画图步骤和图形特征读者可自行分析。
图1-64 四棱台的三视图
特别提醒：
画每个视图都应先画上、下底面，然后画出各侧棱。
②平面体三视图的识读。
平面体三视图的识读，就是根据其三视图的图形特征想象出立体空间形状的过程。
由上述平面体三视图的画图和分析可知，在三视图中，如果其中有两个视图是矩形，所表示的形体一定是棱柱体，对应的第三视图中，其多边形是什么形状就是什么棱柱体；如果其中两个视图的外框是三角形，第三视图为多边形线框，所表示的形体一定是锥体；如果两个视图为梯形线框（最外轮廓），所表示的形体一定是棱台，对应的第三视图是几边形就是几棱台。
特别提醒
无论是完整的还是局部的平面体的三视图都具有此图形特征。
例：识读如图1-65所示平面体的三视图。
图1-65 平面体三视图的识读
图1-65（a）所示三视图中，水平投影和侧面投影外框是矩形，该形体是棱柱，正面投影是特征投影，形状为“凸”字形，即底面实形。故该形体为“凸”形柱。空间形状如图1-66（a）所示。
同理，可分析图1-65［（b）、（c）］所示三视图均为棱柱体，其空间形状如图1-66［（b）、（c）］所示
图1-66 平面体的立体图
如图1-65（c）所示三视图中，正面投影和水平投影外框都是三角形，其形体是锥体，侧面投影为特征图，外框是四边形，由此可知该体是锥尖向左、底面平行于侧面的四棱锥，其空间形状如图1-66（d）所示。
如图1-65（e）所示三视图中，正面投影和侧面投影外框为梯形，其形体为台体。水平投影为特征图，外框是1/2四棱台的底面形状。由此可知该体为右半四棱台，其空间形状如图1-66（e）所示。
同理可分析图1-65（f）所示三视图的形体是1/4四棱台，其空间形状如图1-66（f）所示。
③平面体表面取点。在平面体表面取点，其方法与在平面内取点的方法相同。由于平面体是由若干个平面围成的，所以在平面体表面取点时，应该注意分析点在平面体的哪个表面内。点的投影应在该表面的同面投影上。如果点所属表面的投影可见，则点的投影也可见，反之为不可见。
（2）曲面体的投影曲面体中最常用的是圆柱、圆锥和球体。
①圆柱体的投影。
圆柱是由圆柱面和顶、底面围成的。圆柱面可看成是由一条直线绕与之平行的轴线旋转而成的。这条直线称为母线，圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线。如图1-69（a）所示的圆柱，其轴线垂直于水平面，此时圆柱面在水平面上投影积聚为一圆，且反映顶、底面的实形，同时圆柱面上的点和素线的水平投影也都积聚在这个圆周上；在V面和W面上，圆柱的投影均为矩形，矩形的上、下边是圆柱的顶、底面的积聚性投影，矩形的左、右边是圆柱面上最左、最右、最前、最后素线的投影，这4条素线是4条特殊素线，是可见的左半圆柱面和不可见的右半圆柱面、可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线，也可称它们为转向轮廓线，其中在正面投影上，圆柱的最前素线CD和最后素线GH的投影与圆柱轴线的正面投影重合，所以不画出，同理在侧面投影上，最左素线AB和最右素线EF也不画出。由以上分析可得如图1-69（b）所示的三视图。
图1-69 圆柱体的投影
由此可见，作圆柱的投影图时，先用细点画线画出三视图的中心线和轴线位置，然后画投影为圆的视图，最后按投影关系画其他两个视图。
②圆锥体的投影。
圆锥是由圆锥面和底面组成。圆锥面可看成是由一条线绕与之相交的轴线旋转而成的。这条直线称为母线，圆锥面上通过顶点的任一直线为素线。如图1-70（a）所示的圆锥，其轴线垂直于水平面，此时圆锥的底面为水平面，它的水平投影为一圆，反映实形，同时圆锥面的水平投影与底面的水平投影重合且全为可见；在V面和W面上，圆锥的投影均为三角形，三角形的底边是圆锥底面的积聚性投影，三角形的左、右边是圆锥面上最左、最右、最前、最后素线的投影，这四条特殊素线的分析方法和圆柱一样。由以上分析可得如图1-70（b）所示的三视图。
图1-70 圆锥体的投影
由此可见，作圆锥的投影图时，先用细点画线画出三视图的中心线和轴线位置，然后画底面圆和锥顶的投影，最后按投影关系画出其它两个视图。
③球体的投影。
圆球是由球面围成的。球面可看成是由一条圆母线绕它的直径旋转而成的。如图1-71（a）所示的球体，其三面投影都是与球直径相等的圆，但这三个投影圆分别是球体上三个不同方向转向轮廓线的投影。正面投影是球体上平行于V面的最大的圆A的投影，这个圆是可见的前半个球面和不可见的后半个球面的分界线，其水平投影和侧面投影分别与相应的中心线重合，所以不画出，同理水平投影是球体上平行于H面的最大的圆B的投影，而侧面投影是球体上平行于W面的最大的圆C的投影，分析方法同圆A一样。由上分析可得如图1-71（b）所示的三视图。
图1-71 球的投影
由此可见，作球体的投影图时，只需先用细点画线画出三视图的中心线位置，然后分别画三个等直径的圆即可。
④曲面立体投影图的尺寸标注。对于曲面立体的尺寸标注，其原则与平面立体基本相同。一般对于圆柱、圆锥应注出底圆直径和高度，而球体只需注其直径，但在直径数字前面应加注“Sф”。具体如图1-72所示。
图1-72 曲面立体投影图的尺寸标注示例
4、曲面立体表面上求点和线
a.圆柱体表面上求点和线。在圆柱体表面上求点，可得圆柱面的积聚性投影来作图。如图1-73所示，已知圆柱面上有一点A的正面投影a′，现在要作出它的另两面投影。由于a′是可见的，所以点A在左前半个圆柱面上，而圆柱面在H面上的投影积聚为圆，则A点的水平投影也在此圆上，所以可由a′直接作出a，再由a′和a求得a″，由于A点在左前半个圆柱面上，所以它的侧面投影也是可见的。
图1-73 圆柱体表面上求点
求圆柱体表面上线的投影，可先在线的已知投影上定出若干点，再用求点的方法求出线上这若干点的投影，并判别可见性即为圆柱体表面上求线的作法。
b.圆锥体表面上求点和线。由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，所以求圆锥面上点的投影时必须在锥面上作辅助线，辅助线包括辅助素线或辅助圆。
如图1-74所示，已知圆锥面上的点A、B、C的正面投影a′b′c′，现在要作出它们的另两面投影。
图1-74 圆锥体表面上求点
a辅助素线法。如图1-74（a）所示，点B和点C的正面投影一个在最右素线上，一个在底面圆周上，均为特殊点且可见，所以直接过b′、c′作OX轴的垂线即可得b、c，进而可求得b″、c″，且B、C都在右半个锥面上，所以b″、c″均为不可见。A点在圆锥面上，所以过a′作素线s1的正面投影s′1′，求出素线的水平投影s1和侧面投影s″1″，过a′分别作OX轴与OZ轴的垂线交s1、s″1″于a、a″，即为所求由于圆锥面在H面上的投影均为可见，所以a也为可见，而由于a′可见，可知A点在圆锥面的左前方，则其侧面投影也是可见的。
b辅助圆法。如图1-74（b）所示，过a′作一垂直于圆锥轴线的平面（水平面），这个辅助平面与圆锥表面相交得到一个圆，此圆的正面投影为直线1′2′，其水平投影是与底面投影圆同心的直径为1′2′的圆，由于a′是可见的，所以A点在前半个辅助圆上，那么a也必在辅助圆的前半个水平投影上，所以过a′作OX轴垂线交辅助圆于a点，再由a′和a求得a″，也由于a在左前方，所以a″也是可见的。
而圆锥体表面上求线的方法和圆柱的相同。
c.球体表面上求点和线。由于球面的各面投影都无积聚性且球面上没有直线，所以在球体表面上求点可利用球面上平行于投影面的辅助圆来解决。
如图1-75所示，已知球面上点A的正面投影a′，现在要作出其另两面投影。过A点作一个平行于水平面的辅助圆，即在正面投影上过a′作平行于OX轴的直线，交圆周于1′、2′，此1′2′即为辅助圆的正面投影，共长度等于辅助圆的直径，再作此辅助圆的水平投影，为一与球体水平投影同心的圆，由于a′可见，所以可知A点在球体的左前上方，那么A点在水平面上的投影也可通过a′作OX轴的垂线，交辅助圆的水平投影于a得到，且a为可见，再由a′和a求出a″，同理A点在左侧，所以a″也可见。当然也可通过A点作平行于正面或侧面的辅助圆，方法同上。
图1-75 球体表面上求点
球体表面上求线的方法和圆柱的也相同。
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