中点法解平行四边形存在性问题，
角相等作平行线构造等腰三角形
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2 bx 2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若 ∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．
【解析】解：
（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2 bx 2，
可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,
∴ y＝-2/3 x2 4/3 x 2，
（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，
由题得，B（3，0），C（0，2），设 N（1，n），M（x，y），
【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！
【中点法求坐标】
Xp = 1/2（Xm Xb）= 1/2（Xc Xn）, （坐标中点公式）
①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 x）/ 2，
∴ x＝﹣2，
∴ M（-2，-3/10）；
②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 x）/ 2，，
∴ x＝2，
∴ M（2，2）；
③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 3）/2 = x/ 2，
∴ x＝4，
∴ M（4，-3/10） ；
综上所述：M（2，2）或 M（4，-3/10）或 M（-2，-3/10） ；
（3）
【转化数学思想】
通过∠PCB＝∠BCO想到过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点．则△BCH为等腰三角形，CH=BH,作出辅助线是解题的关键！
∵ BH∥OC，
∴ ∠OCB＝∠HBC，
又 ∠OCB＝∠BCP，
∴ ∠PCB＝∠HBC，
∴ HC＝HB，
又 ∵ OC⊥OB，
∴ HB⊥OB，
故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m，
过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N，
在 Rt△HCN 中，则 m2＝32 （m﹣2）2，
解得 m = 13/4 ,
∴ H（3,13/4），
由点 C、P 的坐标求得直线 CP 的解析式为：y = 5/12 x 2 ,
故有 -2/3 x2 4/3 x 2 = 5/12 x 2 ,
解得 x1＝0（舍去），x2 = 11/8 ,
即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。
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