中点法解平行四边形存在性问题,

角相等作平行线构造等腰三角形

1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2 bx 2(a≠0)与 x 轴交于 A(﹣1, 0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,连接 BC.

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)若点 N 为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点 M,使得以 B,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点,若 ∠PCB=∠BCO,求出 P 点的到 y 轴的距离.

平行四边形的5个判定方法证明过程 中点法解平行四边形存在性问题(1)

【解析】解:

(1)将点 A(﹣1,0),B(3,0)代入 y=ax2 bx 2,

可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,

∴ y=-2/3 x2 4/3 x 2,

(2)存在点 M 使得以 B,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,

由题得,B(3,0),C(0,2),设 N(1,n),M(x,y),

平行四边形的5个判定方法证明过程 中点法解平行四边形存在性问题(2)

平行四边形的5个判定方法证明过程 中点法解平行四边形存在性问题(3)

【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论,能画出图形是解题的关键!

【中点法求坐标】

Xp = 1/2(Xm Xb)= 1/2(Xc Xn), (坐标中点公式)

①四边形 CMNB 是平行四边形时,1/2 = (3 x)/ 2,

∴ x=﹣2,

∴ M(-2,-3/10);

②四边形 CNBM 是平行四边形时,3/2 = (1 x)/ 2,,

∴ x=2,

∴ M(2,2);

③四边形 CNMB 是平行四边形时,(1 3)/2 = x/ 2,

∴ x=4,

∴ M(4,-3/10) ;

综上所述:M(2,2)或 M(4,-3/10)或 M(-2,-3/10) ;

(3)

【转化数学思想】

通过∠PCB=∠BCO想到过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点.则△BCH为等腰三角形,CH=BH,作出辅助线是解题的关键!

平行四边形的5个判定方法证明过程 中点法解平行四边形存在性问题(4)

平行四边形的5个判定方法证明过程 中点法解平行四边形存在性问题(5)

∵ BH∥OC,

∴ ∠OCB=∠HBC,

又 ∠OCB=∠BCP,

∴ ∠PCB=∠HBC,

∴ HC=HB,

又 ∵ OC⊥OB,

∴ HB⊥OB,

故可设 H(3,m),即 HB=HC=m,

过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N,

在 Rt△HCN 中,则 m2=32 (m﹣2)2,

解得 m = 13/4 ,

∴ H(3,13/4),

由点 C、P 的坐标求得直线 CP 的解析式为:y = 5/12 x 2 ,

故有 -2/3 x2 4/3 x 2 = 5/12 x 2 ,

解得 x1=0(舍去),x2 = 11/8 ,

即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。

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