导数双变量压轴题解题（利用合二为一的方法）

导数大题是高考压轴题的常客，其中有一个类型，题目中总是含有x1和x2，让很多人头疼不已。

有些人看答案可以明白，但自己却想不到这么做，这种情况也是正常，因为很多时候答案的方法是“分析法”，如果按照答案给出的顺序去分析，思路和过程正好是相反的。想不到“为什么”也是正常。

有些年轻教师讲解时也是就题论题，说不到点子上。缺少类型题的总结，或者说方法归纳。殊不知这个类型总共就3个方法就能搞定了。而我们要做的是提炼出题目的本意，下面我拿一道题抛砖引玉，介绍其中一种方法，是我们做题的正常思路过程，在书写答案的时候一定不是这个顺序，希望大家仔细体会，并记住其中要点。

直接看到问题的第三问，因为AB的中点为C，则事实上x0横坐标坐标为（x1 x2）/2，故问题实际上是证明一个含有x1和x2的式子。虽然我们学过求导数的各个法则，也感受到了导数的力量，很多看似复杂的函数，在导数工具的帮助下，瞬间可以求出单调性，那样函数的图像状态就不攻自破。

但事实上需要大家认清一点，我们对函数的处理能力是有一个死穴的，我们没有办法搞定两个变量！对于含有x1和x2的式子，我们只能苦笑无奈，这类问题的重要的解题思路是将这两个变量换成一个变量，我们称之为“合二为一”。

我们需要插入一个特别函数，该函数求导后是恒正的，所以函数是恒增的，又过（1,0）点，所以根据函数图像可以判断，当t>1时，h（t）>0；当0<t<1时，h（t）<0；

h(t)的函数图像

h(t)的导函数图像

下面开始针对此题操作，由第一问知a＝2，b＝1，∴g(x)＝2lnx－x2－kx

下面证明该式子≠0，关键的一步是消去参数k，将①代入②中，消去参数k

下一步是构建齐次式，彻底完成“合二为一”

红框的函数正是我们之前插入的h(t)函数，由于t<1，故h（t）<0

最后可得到g'(x0)<0，证毕。

1、h（t）函数的形式，并且能短时间给出函数结论的过程书写；

2、消参数是这个过程中必不可少的部分，如若带着参数k，证明永远不能成功；

3、构建齐次式并且同除，这是促成“合二为一”变形的直接手段。

练习题：

说明：此题和上题如出一辙，适合基础稍弱，理解能力差一点的学生，给个练习的机会熟悉上题的解题流程。过程略。

告一段落，到此是对已知条件的翻译。再看问题

再同除x1，后构造出h（t）函数，下同例1

详解不再列出，文末有word版详解的获取方式，详解中给了另外一种构造函数的方法，也供大家参考。

【分析】第一第二问略，答案给在word版详解中，获取方式在文末；第三问，依题意有两个零点，代入后得到

再看问题，要证：x1 x2＞2

与以往不同是的，以前几道题都是需要消去参数这一关键步骤，而此题没有参数。

正所谓有困难要上，没有困难，要制造困难再上，更何况问题中的式子和我们要

的“合二为一”有点选啊！此时对式子要除一个x2-x1，以便构建齐次式，同时

再除一次保证恒等变换，得：

解法二：适合有创造力的学生，喜欢一题多解。此题可以构造x1-x2=t

该解法也是很奏效的，同时省去了取对数的过程，值得借鉴，缺点是和我们上面

的解法不够呼应，不能很好的让学生在同一个题型上练“透”，具体情况教师可

以根据学生水平自行拿捏。

练习题：

【分析】此题是上个练习题的补充练习，方法类似，详解在word版中，此题给的取对数的方法，例3给的是不取对数的方法，两种方法均能奏效，教师们需要掌握两个方法!

【分析】此题是难度升级版，需要熟练掌握以上几个例题在先。

第二问的②问题很明显就带有取对数的冲动，即lnx1 lnx2>2。

由题意得lnx1 bx1=0，lnx2 bx2=0，需要作差（目的是构造x1/x2），需要作和（目

的是构造问题中的式子）

点评：此题难点在于对于已知条件的两个式子要进行加和减的两种操作，目的是更好的构造h（t）函数。是本题难点所在。

【分析】此题也是难题，关键在于依题意写出两个含x1，x2的式子并作差后，并不能第一时间看到常规的“合二为一”，需要对该方法熟练并把x1 2当成整体，合理的构造出“合二为一”

再通过代入和转化，可以构造出h（t）函数。具体参考word版详解。

本节内容结束，授课时需要强调几个关键的节点，比如“作差”这种常规操作，h（t）函数的证明，齐次式的构造，消参数的必要性等。

本节习题统统是“合二为一”，并且多见于证明题。下一节我们继续双变量的问题，多见于求参数的取值范围，“合二为一”不再奏效，需要用另一种方法转化为一个变量。

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