导数大题是高考压轴题的常客,其中有一个类型,题目中总是含有x1和x2,让很多人头疼不已。

有些人看答案可以明白,但自己却想不到这么做,这种情况也是正常,因为很多时候答案的方法是“分析法”,如果按照答案给出的顺序去分析,思路和过程正好是相反的。想不到“为什么”也是正常。

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(1)

有些年轻教师讲解时也是就题论题,说不到点子上。缺少类型题的总结,或者说方法归纳。殊不知这个类型总共就3个方法就能搞定了。而我们要做的是提炼出题目的本意,下面我拿一道题抛砖引玉,介绍其中一种方法,是我们做题的正常思路过程,在书写答案的时候一定不是这个顺序,希望大家仔细体会,并记住其中要点。

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(2)

直接看到问题的第三问,因为AB的中点为C,则事实上x0横坐标坐标为(x1 x2)/2,故问题实际上是证明一个含有x1和x2的式子。虽然我们学过求导数的各个法则,也感受到了导数的力量,很多看似复杂的函数,在导数工具的帮助下,瞬间可以求出单调性,那样函数的图像状态就不攻自破。

但事实上需要大家认清一点,我们对函数的处理能力是有一个死穴的,我们没有办法搞定两个变量!对于含有x1和x2的式子,我们只能苦笑无奈,这类问题的重要的解题思路是将这两个变量换成一个变量,我们称之为“合二为一”。

常见的方式有:①令x1/x2=t;②令x1-x2=t;③令x1·x2=t;④令x1 x2=t,其中以第一种情况最为多见,甚至涵盖了全部题目的90%以上。今天我们详细解读“合二为一”的操作方式和具体策略。

我们需要插入一个特别函数,该函数求导后是恒正的,所以函数是恒增的,又过(1,0)点,所以根据函数图像可以判断,当t>1时,h(t)>0;当0<t<1时,h(t)<0;

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(3)

h(t)的函数图像

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(4)

h(t)的导函数图像

这个函数是我们解题的法宝,(下面过程会用到)虽然不能适合所有的双变量的问题,60%是一定可以的。

下面开始针对此题操作,由第一问知a=2,b=1,∴g(x)=2lnx-x2-kx

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(5)

下面证明该式子≠0,关键的一步是消去参数k,将①代入②中,消去参数k

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(6)

下一步是构建齐次式,彻底完成“合二为一”

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(7)

红框的函数正是我们之前插入的h(t)函数,由于t<1,故h(t)<0

最后可得到g'(x0)<0,证毕。

总结:解此类题目,需要重点强调以下几点:

1、h(t)函数的形式,并且能短时间给出函数结论的过程书写;

2、消参数是这个过程中必不可少的部分,如若带着参数k,证明永远不能成功;

3、构建齐次式并且同除,这是促成“合二为一”变形的直接手段。

练习题:

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(8)

说明:此题和上题如出一辙,适合基础稍弱,理解能力差一点的学生,给个练习的机会熟悉上题的解题流程。过程略。

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(9)

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(10)

告一段落,到此是对已知条件的翻译。再看问题

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(11)

再同除x1,后构造出h(t)函数,下同例1

详解不再列出,文末有word版详解的获取方式,详解中给了另外一种构造函数的方法,也供大家参考。

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(12)

【分析】第一第二问略,答案给在word版详解中,获取方式在文末;第三问,依题意有两个零点,代入后得到

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(13)

再看问题,要证:x1 x2>2

与以往不同是的,以前几道题都是需要消去参数这一关键步骤,而此题没有参数。

正所谓有困难要上,没有困难,要制造困难再上,更何况问题中的式子和我们要

的“合二为一”有点选啊!此时对式子要除一个x2-x1,以便构建齐次式,同时

再除一次保证恒等变换,得:

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(14)

解法二:适合有创造力的学生,喜欢一题多解。此题可以构造x1-x2=t

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(15)

该解法也是很奏效的,同时省去了取对数的过程,值得借鉴,缺点是和我们上面

的解法不够呼应,不能很好的让学生在同一个题型上练“透”,具体情况教师可

以根据学生水平自行拿捏。

练习题:

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(16)

【分析】此题是上个练习题的补充练习,方法类似,详解在word版中,此题给的取对数的方法,例3给的是不取对数的方法,两种方法均能奏效,教师们需要掌握两个方法!

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(17)

【分析】此题是难度升级版,需要熟练掌握以上几个例题在先。

第二问的②问题很明显就带有取对数的冲动,即lnx1 lnx2>2。

由题意得lnx1 bx1=0,lnx2 bx2=0,需要作差(目的是构造x1/x2),需要作和(目

的是构造问题中的式子)

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(18)

点评:此题难点在于对于已知条件的两个式子要进行加和减的两种操作,目的是更好的构造h(t)函数。是本题难点所在。

导数双变量压轴题解题(利用合二为一的方法)(19)

【分析】此题也是难题,关键在于依题意写出两个含x1,x2的式子并作差后,并不能第一时间看到常规的“合二为一”,需要对该方法熟练并把x1 2当成整体,合理的构造出“合二为一”

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再通过代入和转化,可以构造出h(t)函数。具体参考word版详解。

本节内容结束,授课时需要强调几个关键的节点,比如“作差”这种常规操作,h(t)函数的证明,齐次式的构造,消参数的必要性等。

本节习题统统是“合二为一”,并且多见于证明题。下一节我们继续双变量的问题,多见于求参数的取值范围,“合二为一”不再奏效,需要用另一种方法转化为一个变量。

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