待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(1)

待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(2)

我们都知道,基本不等式主要是用来求解多元代数式最值问题的,老师们又简单地将这个应用总结为:

和定积大、积定和小

说来容易,但在实际应用的时候,定值条件的构造还是挺考验一个人思维的灵活性。

因此,对于基本不等式来说,一正、二定、三相等这三个要素中,如何寻找最一般性的 、能够确定定值的做法,才是最有必要的。

今天就讲讲如何用待定系数法,来解决构造定值过程中的配凑问题。


待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(3)

标准答案往往是这个样子的:

待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(4)

答案确实很完美?

但你是不是一下子就觉得自己

很崩溃了呢!

而且

待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(5)

又是个什么鬼?

是怎样的大脑,

才能配凑成如此境地呢?

作为一名智力一般的学生,

他又能不能做到?

其实,

要想达到这个水平,

也不是不可以,

只是真的还是需要一点勇气!

分析:要想充分利用条件中的定值,结合本题求“最大值”这一方向,可考虑将各字母的交叉项利用基本不等式代换为平方和,只是系数如何摆平,就成为解决本题的关键,在不知道对系数如何配凑的情况下,待定系数法将成为最好的手段。

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待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(7)

分析一:像这种平方和的问题,我惯用的方法总是三角换元,而且也总是屡试不爽。

待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(8)

分析二:此题结论为平方式,条件中有交叉项,故可考虑将交叉项代换为平方式处理。当然,代换过程中系数的问题,还是用例1的待定系数法更为妥当。

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相对而言,在解决类似问题时,三角换元应该更具备一般性。其实很明显的是,如果是求范围,用基本不等式就弱了些,毕竟用它只能求代数式单侧的最值。

但三角换元,对条件的要求是比较严格的。就像下面这个平方差的问题,虽然也是可以三角换元,但对于很多正经学生来说,此种特征下的“三角换元”,又是不是太难为他们了点呢!


待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(10)

分析:考虑用基本不等式,但因求的是最大值,不等号方向要做下调整。

待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(11)

其实,使用待定系数法时,方程的得出主要还是要盯准目标,通过建立系数之间的比例关系而成形。从这个角度来说,但凡从外观可以考虑用基本不等式的,都可以使用这种方式处理,应该是通法了。而通法,岂不正是我们这些智商不算太高的人所追求的吗!


附:一定要熟记的“基本不等式”链

待定系数法解不等式配凑原则(用待定系数法解决基本不等式的配凑技巧)(12)

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