今天在家阅读吴军老师的《数学通识讲义》，甚觉精彩，将这部分内容摘编后与朋友们分享。
说到数列，一般情况下，大家首先想到的是等差数列，比如1，2，3，4，5，6，7，…，以及等比数列，比如1，2，4，8，16，32，…。在小学，老师会讲从1加到100怎么计算，也会讲等比数列（也被称为几何数列）会增长很快，等等。但是，为什么要把这些数放到一起研究，课程中却很少提到，而这恰恰是问题的关键∶数列不是一些数字的简单排列，而是在那些数字之间存在一些必然的联系，这种联系让我们可以根据有限的数字，推算出整个序列的变化规律，或者说走势。比如，我们知道等差数列相邻两项之间的差异是一个常数，它的变化速度不算太快；而等比数列相邻两项之间的差异是成倍数的，变化速度就很快。当然，并非所有数列的规律都那么直观，变化也未必那么明显，这就需要我们开动脑筋来寻找它们的规律性。
一、斐波那契数列和黄金分割的关联性
我们不妨先看这样一个例子，来理解一下数列变化的特点。假如有一对兔子，我们说它们是第一代，生下了一对小兔子，我们叫它们第二代；然后这两代兔子各生出一对兔子，这样就有了第三代。这时第一代兔子老了，就生不了小兔子了，但是第二、第三代还能生，于是它们生出了第四代。再往后，第三、第四代能生出第五代，然后它们不断繁衍下去。那么请问第N代的兔子有多少对？
解答这个问题并不难，我们不妨先给出前几代兔子的数量，它们是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。稍微留心一下这个数列的变化趋势，我们就会发现从第三个元素开始，每一个元素都是前两个元素之和：2=1 1, 3=1 2, 5=2 3, ……
这里面的道理很简单，每一代兔子都是由前两代生出来的，因此它的数量等于前两代的数量相加。发现了这个规律后，我们就可以一代代算下去，一直算到第N代。这个数列最初是由斐波那契引入的，因此被称为斐波那契数列。
了解了斐波那契数列的规律后，我们不难看出它增长的速度是很快的，虽然赶不上1，2，4，8，16，……这样的翻番增长，但也近乎指数级增长，只要N稍微一大，数列也会产生指数爆炸。其实，在现实生活中，兔子在没有天敌的情况下，繁殖速度还真就是这么迅猛。
1859年，一个名叫托马斯·奥斯丁（Thomas Austin）的英国人移民来到澳大利亚，他在英国喜欢打猎，猎物主要是兔子。到了澳大利亚后，他发现没有免子可打，便让侄子从英国带来了24只兔子，以便继续享受打猎的快乐。这24只兔子到了澳大利亚后被放到野外，由于没有天敌，它们快速繁殖起来。兔子一年能繁殖几代，年初刚生下来的兔子，年底就会成为“曾祖”。因此那24只兔子10 年后便繁殖到了200万只，这是世界上迄今为止哺乳动物繁殖速度最快的纪录。
几十年后，兔子的数量飙至40亿只，这给澳大利亚造成了巨大的生态灾难，不仅是澳大利亚的畜牧业面临灭顶之灾，而且当地植被、河堤和田地都被破坏，引发了大面积的水土流失。有人可能会问为什么不吃兔子，澳大利亚人也确实从1929年开始吃兔子肉了，但是吃的速度没有繁殖得快。后来澳大利亚政府动用军队捕杀，也收效甚微。最后，在1951年，澳大利亚引进了一种能杀死兔子的病毒，终于消灭了99%以上的兔子。可是少数大难不死的兔子产生了抗病毒性，于是“人兔大战”一直延续至今。
斐波那契数列是近乎指数级的增长，那么它每一项增长的比例是多少呢，我们 不妨再定量地分析一下。
我们用Fn代表数列中第n个数。那么Fn 1，就表示其中的第（n 1）个数。我们用Rn代表Fn 1和Fn，的比值，你可以把它们看成是数列增长的相对速率。下表给出了斐波那契数列中前12个元素的数值，以及增长的速率。
斐波拉契数列中前12个元素的数值和增长速率
大家可以看出Rn值逐渐趋近于1.618，这恰好是黄金分割的比例。这样的结果是巧合吗?不是!如果我们用斐波那契数列的公式推算一下，就很容易发现这个数列和黄金分割的一致性，因此数列中相邻两个数的比值Rn必然是黄金分割的比例。推导和证明的相关内容，有兴趣的朋友可以查阅相关资料。
斐波那契数列和黄金分割之间的这种关联并非偶然。如果我们把两次黄金分割后的结果相加，会发现它们正好等于原来的长度。比如长度是1的线段第一次黄金分割后，得到0.618，0.618再分割一次，得到0.382，两者相加等于1，这就等同于斐波那契数列中Fn 2=Fn 1 Fn的关系。
斐波那契数列和黄金分割之间的这种必然联系，揭示了数学的一个规律，即很多现象在数学这个体系中是统一的，很多人认为这其实就是数学之美的体现。
二、斐波那契数列的其他启发
首先，虽然这个数列相邻两项比值的最终走向是收敛于黄金分割，但是一开始的几个数并不符合这个规律，这种情况在数学上很常见。我们所谓的“规律”，通常是在有了大量数据后得到的，从几个特例中得到的所谓的规律，和真正的规律可能完全是两回事。至于斐波那契数列相邻项比例的极限值，是通过逻辑推导出来的，不是根据经验总结出来的。
其次，斐波那契数列增长的速率，几乎是一个企业扩张时能够接受的最高的员工数量增长速率，如果超过这个速率，企业的文化就很难维持了。这是因为企业在招入新员工时，通常要由一名老员工带一名新员工，缺了这个环节，企业人一多就各自为战了。而当老员工带过两三名新员工后，他们就会追求更高的职业发展道路，不会花太多时间继续带新人了，因此带新员工的人基本也就是职级中等偏下的人。这很像兔子繁殖，只有那些已经性成熟且还年轻的兔子在生育。
最后，由于斐波那契数列几乎每一项都比前面大很多，因此这个数列不断写下去，最后会趋近于无穷大，这在数学上被称为是发散数列，这是数列发展的一种趋势。当然，数列发展还有其他的趋势，可能是收敛，或者振荡。
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