女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
纵观历史，密铺图案是由少量拼块形成重复的图案。在20世纪中叶，两位艺术家发明了可以变形的密铺。其中最著名的当然是荷兰艺术家M·C·埃舍尔，另一位是威廉·赫夫(William Huff)，他是纽约州立大学布法罗分校的建筑学教授。
埃舍尔著名的木刻作品《解放》（Liberation 1955）是一个连续变形的典型例子。1968年的《变形》、1964年的《方形极限》和1940-1942年的《莱顿市政厅嵌板设计》，是其他变形密铺的例子。所有这些艺术作品都以一种创造性的方式讲述了一个巧妙的故事。
赫夫使用他称之为“拼花地板变形”的想法作为练习来发展他的学生的视觉思维。他的灵感来自于埃舍尔的木刻作品《日与夜》。1983年7月，侯世达(Douglas Hofstadter)在《科学美国人》专栏[3]中阐述了一维拼花地板变形的基础知识。随后，他以书籍的形式发表了专栏文章[4]。
赫夫从一个拼块开始，然后形成一个底层框架网格。(我们将在被子设计中使用一个正方形作为起始网格的基础。)引用侯世达(Douglas Hofstadter)的文章/书[3，4]中的话说，变形的典型方式是：
·延长或缩短一条线。
·旋转一条线。
·在线段的某处引入一个“铰链”，使其能够“弯曲”。
·在线段的中间或顶点引入一个“凸点”或“疙瘩”或“齿”（一个具有简单形状的小突起或凹陷）。
·移动、旋转、扩大或收缩形成自然子单元的一组线条；或上述任何一种的变化。
由于一些正方形副本可能与主单元成90度（或其他角度），一个局部看起来无害的改变可能会在相应的点引起改变，从而导致意外的相互作用，其视觉后果可能相当令人兴奋。在一条线变形并且所有其他线都随之变化之后，新图形区域中的拼块保持彼此一致。赫夫认为，从设计和数学的角度来看，正是这种拼块的一致性使它们具有吸引力。
约翰·夏普用许多例子简化了这些想法。伊莱恩·埃里森(Elaine Ellison)用这些法则来设计拼块，这些拼块会逐渐变化，这样图案就会变得令人愉快和有趣，而不是混乱和无序。
埃舍尔的过渡
卡普兰在他的演讲[2]“埃舍尔艺术中的变形”中，阐述了M·C·埃舍尔作品中的6类过渡。以下是卡普兰对埃舍尔作品中的变化进行分类的分类：
1. 实现：一个几何图案被精心设计成一个景观或其他具体场景。
2. 交叉渐变：两种对称的设计叠加在一起，其中一种渐变到另一种。
- 对接：两个不同的拼块沿着共同的曲线突然拼接在一起。
- 成长：图案逐渐成长，填补了已有图案领域的负空间，导致多面体拼块。
- 天与水：这种过渡从一些现实的形状A的副本开始，以另一个现实的形状B的副本结束，并通过从两个类似A和B的形状的拼块中移动到它们之间。
- 插值：通过平滑地变形拼块的形状，一个贴图演变成另一个拼块。
卡普兰的例子表明，埃舍尔的很多工作都使用了“天与水”的概念和插值策略。在卡普兰的一些案例中，约翰·夏普使用的赫夫的方法没有被遵循。卡普兰还从一个初始的拼块开始，然后他将其转换为最终的拼块，而没有参考底层的规则网格。这将导致匹配问题。镶嵌设计中的每一个拼块都经过微小的变化演变成另一块拼块。这个想法说明了插值策略。
设计开端——伊莱恩·埃里森
在设计中，我遵循了Huff/Sharp方法。我在一个正方形中选择了两个主题(见下面约翰·夏普的解释)。下面的网格是一个正方形的等面瓷砖；基本的图案是4-4-4，也就是说一个由400个方格(20 × 20)组成的网。在整个转换过程中，网格的顶点保持固定。随着方格图案的演变，下面的转换序列被用来展示它的故事。这个正方形的故事从左到右，从上到下。这些图案的线条总是在正方形的角上相交，因此，当它们变化时，总是密铺。第一个主题具有旋转对称性。它由一个中心方块的四角连接到基座四角的拼块组成；下面所示的变换的极端是从正方形缩小到一个点，然后扩展到基本的正方形。第二个主题包括一条与基座的侧面平行的中线，其两端与基座的四角相连；转换的极端的线扩展加入方块边的中点为H，到另一个极端的时候加入基座方块的角落给一个x的对称图案使其使用两次90°旋转给五角拼块没有任何平移。
图1：两个主题的变化
请注意这两个主题是如何以X结尾的，这样它们就可以相互融合。在另一端，主题2不是严格意义上的正方形，但融合得相当好。图2显示了使用20x20基本正方形的完整设计中的变换。正方形20将循环回到正方形1，并且图案将是连续的。本质上，图案从左到右循环，从上到下也在循环，因此是一个展开的圆环！在设计图案的过程中，这对我来说是一个有趣的发现。
图2：图案的网络和结构
附录——设计的可能性，John Sharp
当我第一次看到侯世达的文章[3]时，我觉得它很令人兴奋，但对于想要构建变形拼块的人来说，却没有很好的解释。然而，以[3]或[4]中的例子为分析技能的教学提供了极好的空间。我后来意识到，你选取一个基本的拼块，像三个正规的拼块之一（甚至是一个半正规的拼块），并在单元中放置一个图案（或者对于半正规的来说，不止一个）。这个图案可以通过某种方式进行转换，但它是基于通往顶点的线（也可以是边上的一个固定点），这样拼块就会一直连接起来。
所以，如上所述的基本想法是选择一个你可以变换的主题。这种转换可以在一个方向上发生，也可以在两个方向上发生。这些阶段可以是线性的，例如，主题2(图1)中的中心线可以稳定地从一个点移动到一条线，或者可以根据一些简单的函数进行改变。根据对称性的不同，图案可以旋转或反射。这几种可能性很快就会为一个主题产生许多变化。我有成册的拼块来证明这一点。一个简单的程序就能让它们以惊人的速度出现。创意在于图案的设计。正如伊莱恩·埃里森(Elaine Ellison)所展示的，也有可能以多种方式混合主题；她有两个不同的主题，还利用主题2的方向创造了一些不同的东西。
从图1和图2可以很容易地看到转换。当你看到一个完整的结果时，转换通常会突然发生，但这并不会有损于美学观点。
因此，在图6中，你可能会认出左边的伊斯兰拼块的一部分，其图案是一个在边上加了三角形的正方形。留白在原始图案中形成了一个细长的六边形。
图6：基于伊斯兰图案的密铺
变换是将三角形展平成一个正方形，然后继续向外移动，最终得到一个八边形。
艺术家倾向于看中间的洞，所以六边形/八边形的变化是你可能没有预料到的。
即使是黑白涂色也可以增加一些有趣的新结果。图7显示了一个被涂成黑白颜色的变形拼块。令人惊讶的是，这产生了一种在原作中不可能看到的弯曲线条的错觉。
图7：创建一个错觉
另一种尚未探索的可能性是使用圆形/极坐标网格。图8中的例子也被涂上了黑白颜色，并产生了不存在的螺旋效果。
图8：极坐标网格上的变形密铺
参考文献
[1] John Sharp, Morphing Tiling, http://web.archive.org/web/2002-2003re_/http://www.counton.org.
[2] Craig S. Kaplan, Metamorphosis in Escher’s Art, Bridges Leeuwarden, Proceedings 2008.
[3] Douglas Hofstadter, Parquet Deformations: Patterns that Shift Gradually in One Dimension, Scientific American Magazine, July 1983 pages 14-20.
[4] Douglas Hofstadter, Metamagical Themas Questing for the Essence of Mind and Pattern, Basic Books NY 1985
[5] Robert Bosch and Andrew Pike, Map-Coloured Mosaics, Bridges, Canada, Proceedings 2009.
[6] Jinny Beyer, Designing Tessellations: The Secrets of Interlocking Patterns, Contemporary Books, Chicago Illinois 1999, pages 229-237
[7] Elaine Krajenke Ellison, John Sharp. Tiled Torus Quilt with changing tiles
青山不改，绿水长流，在下告退。
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