【考试要求】
能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等.
4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【微点提醒】
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系,从而应用正、余弦定理求解.
【考点聚焦】
考点一 求距离、高度问题
角度1 测量高度问题
【规律方法】
1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
角度2 测量距离问题
【规律方法】
1.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
2.确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
考点二 测量角度问题
【规律方法】
1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用
【规律方法】
1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
2.寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果,求解时要灵活利用平面几何的性质,将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.
【反思与感悟】
利用解三角形解决实际问题时:(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义.
【易错防范】
在三角形和三角函数的综合问题中,要注意边角关系相互制约,推理题中的隐含条件.
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