平面几何中的“最值”是属于较有难度的几何问题，其复杂多变、形式多样、经典巧妙。有类最值问题中往往带有特殊角，这时，我们可以作特殊角所在三角形的外接圆，有可能迎刃而解。今举三例来说说，供参考：
【例一】（如图）扇形ABC中，∠B=60º，内接△DEF，点D、F分别在半径上，半径为2，点E在弧上，且：DF=EF，∠DFE=120º，求：△DEF面积的最小值
【解析】（作△BDF的外接圆）
（1）由已知可得：∠FDE=∠FED=30º，设：FD=FE=a，则：DE=√3a，连BE，BE=2
（2）作△BDF的外接圆⊙O，则∠DOF=120º，∠ODF=∠OFD=30º，半径OD=OB=OF=√3a/3
（3）△ODE中，由余弦定理得：OE=√21a/3，由：OB＋OE≥BE得：a≥（√21－√3）/3，故：a的最小值为：（√21－√3）/3
（4）由S△DEF=DF²sin120º/2得：△DEF面积的最小值为：（4√3－√21）/6
【例二】（如图）在Rt△ABC中，∠BAC=90º，∠ABC=30º，D是△ABC外一点，∠ADC=60º，BD=2√3，求：线段BC的最小值
【解析】（作△ACD的外接圆）
（1）由已知可得：∠ACB=60º，BC=2AC
（2）作△ACD的外接圆⊙O，设半经OA为a，即OA=OC=OD=a，由∠D=60º，∴∠AOC=120º，∠OCA=∠OAC=30º，∴∠BCO=90º，AC=√3a，BC=2√3a
（3）在Rt△OBC中，由勾股定理得OB=√13a
（4）由OB＋OD≥BD得：a≥2√3/（√13＋1）
（5）故：a的最小值为：（√39－√3）/6
（6）由BC=2√3a得，BC最小值为：√13－1
【例三】（如图）等边三角形△ABC边长为6，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，且有：DE⊥EF，求：DF的最小值
【解析】（作△BDF的外接圆）
（1）Rt△DEF中设DF=2a，则DF上中线长为a，
（2）作△BDF的外接圆⊙O，由∠DBF=60º得，∠DOF=120º，半径OB=OD=OF=2√3a/3
（3）取DF的中点G，连OG，则OG=√3a/3，连EG，则EG=DF/2=a
（4）过点B作AC边上的高BH，则BH=3√3
（5）则：OB＋OG＋GE≥BH，代入整理可得：（√3＋1）a≥3√3，2a≥（9－3√3）
（6）所以：DF的最小值为：（9－3√3）
以上三例之分析，“道听度说”供参考。
,
