比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．，接下来我们就来聊聊关于相似三角形的判定教案?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!
相似三角形的判定教案
比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a，b，c＝3，d
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、3，故选项错误．选B．
【小结】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【解析】因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：dcm，选A．
【小结】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
若a是2，4，6的第四比例项，则a＝ ；若x是4和16的比例中项，则x＝ ．
【分析】根据第四比例项的概念，得2：4＝6：a，则a可求；
根据比例中项的概念，得x2＝4×16，则x可求．
【解析】∵a是2，4，6的第四比例项，∴2：4＝6：a，∴a＝12；
∵x是4和16的比例中项，∴x2＝4×16，解得x＝±8．
【小结】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式．
已知四条线段a，3，a 1，4是成比例线段，则a的值为 ．
【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解析】∵四条线段a，3，a 1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a 1）：4即3（a 1）＝4a，解得a＝3．
【小结】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义．
黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，PM的长是 ．
【分析】分PM＞PN和PM＜PN两种情况，根据黄金比值计算．
【解析】当PM＞PN时，PMMN，
当PM＜PN时，PM＝MNMN，故答案为：或．
【小结】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比作出判断．
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），
则；或BC2＝AB•AC（AC＜BC），
则．故只有的值不可能是．选D．
【小结】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB，进行计算即可．
【解析】如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF，∴BE＝FH＝AB﹣AE，
∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（）：（1）．选A．
【小结】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．35 C． D．20﹣8
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CHBC＝2，则根据勾股定理可计算出AH，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BEBC＝22，则计算出HE＝24，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，∴BH＝CHBC＝2，
在Rt△ABH中，AH，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BEBC＝2（1）＝22，
∴HE＝BE﹣BH＝22﹣2＝24，∴DE＝2HE＝48
∴S△ADE（48）10﹣4．选A．
【小结】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
比例的基本性质
解决此类问题通常利用设k法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.
已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b c＝24，求a，b，c的值．
【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；
（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b c＝24，即可求得a、b、c的值．
【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则1；
（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k 5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．
【小结】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a b c＝12，探索△ABC的形状．
【分析】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．
【解析】设k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a b c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．
【小结】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
已知k，求k值．
【分析】依据等比性质可得，k，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【解析】∵k，
∴由等比性质可得，k，当a b c d≠0时，k；
当a b c d＝0时，b c d＝﹣a，∴k2；
综上所述，k的值为或﹣2．
【小结】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
已知a、b、c均为非零的实数，且满足，求的值．
【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a b，a c，b c，代入原式计算即可得到结果．
【解析】当a b c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：1，
即a b﹣c＝c，a﹣b c＝b，﹣a b c＝a，
整理得：a b＝2c，a c＝2b，b c＝2a，此时原式8；
当a b c＝0时，可得：a b＝﹣c，a c＝﹣b，b c＝﹣a，则原式＝﹣1．
综上可知，的值为8或﹣1．
【小结】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【解析】（1）∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴．
【小结】考查平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理3，则BC＝3CE，利用BC CE＝BE＝10可计算出CE长
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴3，∴BC＝3CE，
∵BC CE＝BE，∴3CE CE＝10，∴CE．选C．
【小结】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于
点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得出对应线段成比例，逐一检查每个选项即可得出正确答案．
【解析】∵EF∥BC∴，∴答案A正确；
根据合比性质，则有 即：，∴答案D正确；
又∵AD∥EF，∴，∴答案B正确；
而，∴答案C错误．选C．
【小结】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，把握定理中对应线段成比例的“对应”两个字是解决本题的关键．
已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解析】∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，∴，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，∴，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，∴，∴，故D正确，不符合题意，
选B．
【小结】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
相似三角形的判定
相似三角形的判定方法汇总：
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似
如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解析】根据题意得：AC，AB，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：，选项A符合题意；
B、三边之比：：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；
D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．
选A．
【小结】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解析】当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A ∠ACD＝∠ACD ∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【解析】由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，选A．
【小结】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【分析】利用A、B、C的坐标得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解析】∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，
∵3，∠ABC＝∠ECD，∴△ABC∽△DCE；
当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵3，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC；
当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC与△ECD不相似；
当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC．
选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了坐标与图形性质．
相似三角形的性质（周长）
掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．4：9
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACDS△ABE即可求得．
【解析】∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，选B．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题关键．
如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解析】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE周长等于10 10 12＝32，
四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF周长为16
【小结】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴，
∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE DE＝6 3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8 9）×2＝34．选C．
【小结】考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答
如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3． 选D．
【小结】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
相似三角形的性质（面积）
掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.
如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
【分析】易证△DEF∽△CBF同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例平方即可解题．
【解析】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AEAD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△AEG∽△BCG，利用相似的性质得到，证明△EAG∽△EDC，利用相似比得到，所以S四边形ADCG＝15S△EAG，然后计算S△BGC：S四边形ADCG的值．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，∴（）2＝（）2＝（）2，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，∴（）2＝（）2＝（）2，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．选A．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得（）2，可求，即可求解．
【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴（）2，∴，
∴S△DOE与S△COE的比为1：5，选B．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝ ．
【分析】连结AP并延长交BC于点F，则S△CPE＝S△AEP，S△AEP＝S△ADP，可得S△CPE：S△ADE＝1：2，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，可得S△ADE：S△ABC＝1：4，则S△CPE：S△ABC＝1：8．
【解析】连结AP并延长交BC于点F，
∵DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8
【小结】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
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