代数、几何是数学的两大分支。用一句话来说明的话，研究“数”的部分是代数学的范畴，研究“形”的部分是属于几何学的范畴；当然，此外还有联结形与数且涉及极限的部分也就是分析学，这三者构成整个数学的核心。初中时期起，学生所学的数学基本不出代数与几何这两大分支。
说到学几何，往前推到公元前4世纪左右，欧几里得这位古希腊伟大的数学家和他的十三卷的《几何原本》是无论如何都不应该错过的。在这本书里，欧几里得着手处理了一些人们公认的一些几何知识，并在基础上研究了图形的性质，推导演绎出了若干定理。因为书是欧几里得写的，所以他的几何就被称之为“欧氏几何”。
几何以姓氏来命名，确实是长见识了，尤其也可以看得出来，欧几里得在几何学上所取得的集大成者般的成就，确实非同凡响。不过，由这个命名也带来了另外一个疑问：既然有“欧氏几何”，是不是也会有其他什么氏的几何呢？
答案也确实是肯定的。除了“欧氏几何”，确实也还有“非欧几何”的存在。这个“非欧几何”，也就是非“欧氏几何”的意思——不是一种，而是几种，罗氏几何和黎曼几何都属于“非欧几何”。“非欧几何”的由来，是为了解决欧几里得在《几何原本》中提出的“5公设”的第五条，即“一直线与两条直线相交，若在同侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线无定限延长后在该侧相交”而来的。
第五条公设说的是几何史上著名的“平行线理论”。在多数人常规看来，两条平行线自然是不会相交的。但创立了“罗氏几何”的俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基经过推理却发现，第五公设无法被证明。最终，罗巴切夫斯基收获收获了一门新的理论几何学——罗巴切夫斯基几何，也就是“罗氏几何”。这是第一个被提出的非欧几何学。
除了罗巴切夫斯基，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设的不可证明以及“非欧几何学”的存在。不过当时鲍耶·雅诺什的处境并不乐观——不仅社会上一片冷言冷语，家里人也不支持他，即使是同样身为数学家的父亲也认为研究第五公设完全是劳而无功的事情。当1832年鲍耶·雅诺什的研究结果终于得以面世的时候，他只能发表在父亲的一本著作的附录里。
除了鲍耶·雅诺什，被称为“数学王子”高斯也曾发现了第五公设的秘密，并且开始研究非欧几何，但他没敢公开发表自己的研究成果，更别提站出来公开支持罗巴切夫斯基和鲍耶。直到1854年德国数学家黎曼又提出一种新几何学也就是“黎曼几何”。
“罗氏几何”认为平行线是可以相交的，它和“黎曼几何”的区别就是三角形内角和比180度大还是小这个问题。在“罗氏几何”中，三角形的内角之和小于180度；而在“黎曼几何”中，三角形的内角之和大于180度，并且不能作直线与已知直线平行。
不要觉得“罗氏几何”“黎曼几何”这些“非欧几何”不好理解到了匪夷所思的程度。事实上，想一想爱因斯坦的相对论对于牛顿的经典力学的颠覆性改变，也就能理解“罗氏几何”“黎曼几何”这些“非欧几何”的存在的价值了。欧几里得的“欧氏几何”解决的一般情况下的几何问题；而“非欧几何”成立所需的约束条件是不同的。可以这样来理解，经典力学中的绝对时空观正好对应了欧式几何学的平整不变空间；而“非欧几何”中的空间则是相对变化的，正好对应着爱因斯坦所提出的引力扭曲空间的论断。爱因斯坦在1915年引用黎曼几何来描述他的广义相对论空间，终于获得了巨大成功。
普通人应该来如何理解“非欧几何”呢？也有一个简单的办法。找一个地球仪，找到0度和随意一根经线，再找到一根纬线，三线维出的三角形，其内角和一定大于180度。还有平行线必相交的问题，比如地球上赤道处的经度线，在赤道处是平行的，在两极却是相交的。
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