初中几何数学题求扇形面积（一道初中几何题-求梯形的面积）

一道初中几何题-求梯形的面积

等腰梯形ABCD的两个底为AB和CD，AB<CD, 腰AD=BC，点A到BC， CD和BD的距离分别是15， 18和10， 求梯形的面积。

解： 如图，设上底AB=x, 高线AF与BD的交点为H， 并AH=y,

显然HF=18-y,

根据勾股定理有：

以及：

因为三角形ABG相似于三角形HAG，所以：

所以有：

另外三角形AHB相似于三角形HFD，所以：

带入后：

此外，由于是等腰梯形，相对应的一个底角等于对顶的外角，所以三角形EBA和三角形FDA相似：

带入数值：

在三角形ADF利用勾股定理有：

即：

将方程1和2联立可以解出：

即上底：

和下底：

最后梯形的面积为：

解法2： 如图，

设三个垂足分别是E， F和G， 显然这里存在两对相似的三角形， 分别是三角形ADF相似于三角形ABE， 以及三角形ADG相似于三角形ACE。

此外这里需要两个引理：

1. 等腰梯形是有外接圆的的四边形。
2. 内接圆的四边形满足托勒密定理，即对边之积的和等于对角线之积。

由此设AD=a,

根据相似性可以求出：

以及：

根据托勒密定理：

得出:

因此：

在三角形ADF中利用勾股定理：

解得：

最后梯形的面积：

,